平面直角坐标系知识梳理及经典题型

平面直角坐标系知识结构图：一、知识要点：（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。记作（a，b）（二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；1、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（ba,）一一对应；其中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；2、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限（三）四个象限的点的坐标具有如下特征：1、点P（yx,）所在的象限横、纵坐标x、y的取值的正负性；2、点P（yx,）所在的数轴横、纵坐标x、y中必有一数为零；（四）在平面直角坐标系中，已知点P),(ba，则1、点P到x轴的距离为b；2、点P到y轴的距离为a；3、点P到原点O的距离为PO＝22ba（五）平行直线上的点的坐标特征：1、在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A、B的纵坐标都等于m；2、2、在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C、D的横坐标都等于n；（六）对称点的坐标特征：1、点P),(nm关于x轴的对称点为),(1nmP，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；象限横坐标x纵坐标y第一象限正正第二象限负正第三象限负负第四象限正负P（ba,）abxyOXYABmBXYCDn2、点P),(nm关于y轴的对称点为),(2nmP，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3、点P),(nm关于原点的对称点为),(3nmP，即横、纵坐标都互为相反数；关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：1、若点P（nm,）在第一、三象限的角平分线上，则nm，即横、纵坐标相等；2、若点P（nm,）在第二、四象限的角平分线上，则nm，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。（九）用坐标表示平移：见下图二、题型分析：XyP1PnnmOXyP2PmmnOXyP3PmmnOnXyPmnOyPmnOXP（x，y）P（x，y－a）P（x－a，y）P（x＋a，y）P（x，y＋a）向上平移a个单位长度向下平移a个单位长度向右平移a个单位长度向左平移a个单位长度题型一：代数式与点坐标象限判定此类问题通常与不等式（组）联系在一起，或由点所在的象限确定字母的取值范围，或由字母的取值范围确定点所在的象限．【例1】在平面直角坐标系中，点32，在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限【解析】由各象限点的特征知，点32，在第四象限，故选D．【点评】解答这类问题所需的知识点是第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+）、（-，+）、（-，-）、（-，+）．【例2】若点P（12mm，）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】由题意知120mm，解得1.m于是点P的坐标为（1，-1），于是点P在第二象限．选B．【点评】本题设置了一个小小的障碍，即先根据横坐标与纵坐标互为相反数列出方程解出m，然后才能根据会标特点确定象限．【例3】若点P（a，b）在第四象限，则点M（b-a，a-b）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限答案：B分析：第四象限横坐标大于0，纵坐标小于0.【例4】如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在()A、第一象限B、第二象限C、第三象限,D、第四象限.答案：B【例5】对任意实数x，点P（x，x2－2x）一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C【例7】点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P点的坐标是。答案：（3，-2）【例8】若点M(1–x，x+2)在第二象限内，则x的取值范围为；答案：x＞2习题演练：1、在平面直角坐标系中，点P（4,22m）一定在象限。2、点P（x－1，x＋1）不可能在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、如果点M（a＋b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第________象限。4、点Q(3–a，5–a)在第二象限，则a2-4a+4+a2-10a+25=；5、点M（a，a-1）不可能在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限6、如果xy＜0，那么点P（x，y）在（）A、第二象限B、第四象限C、第四象限或第二象限D、第一象限或第三象限题型二：用代数式求坐标轴上的点坐标例1：在平面直角坐标系中，已知点P（2,5mm）在x轴上，则P点坐标为答案：（7，0）例2：已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是.答案：（-2，2）或（2，2）习题演练：1、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥x轴，则m的值为。2、已知线段AB=3，AB∥x轴，若点A的坐标为（1，2），则B点的坐标为；3、已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x=.题型三：求对称点的坐标解答此类问题所需知识点是：点（a,b）关于x轴的对称点是(a,-b)，关于y轴的对称点是(-a,b)，关于原点的对称点是（-a,-b）．【例1】在如图1所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则这时C点的坐标可能是（）Ａ．(13)，Ｂ．(21)，Ｃ．(21)，Ｄ．(31)，【解析】根据题意，A点与B点关于原点对称，MN所在直线为y轴，于是可确定原点为图中O点位置，即x轴为过O点的一条横线，于是C点的坐标为（2，-1），即选B．【点评】本题逆向考查了两点关于原点对称问题，求C点坐标的关键是确定直角坐标系的原图1点所在．例1：点M（2，－3）关于x轴的对称点N的坐标为；关于y轴的对称点P的坐标为；关于原点的对称点Q的坐标为。答案：（2，3）；（-2，-3）；（3，-2）例2已知点A（a，－5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值．（1）A，B两点关于y轴对称；（2）A，B两点关于原点对称；（3）AB∥x轴；（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．【分析】（1）两点关于y轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同；（2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数；（3）两点连线平行于x轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同．【解答】（1）当点A（a，－5），B（8，b）关于y轴对称时有：85ABABxxayyb（2）当点A（a，－5），B（8，b）关于原点对称时有85ABABxxayyb（3）当AB∥x轴时，有85ABABxxayyb（4）当A，B两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：xA=yB且xA=yB即a=－5，b=8．【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．习题演练：1、点P(1，2)关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是，关于原点的对称点的坐标是；2、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y轴对称的点是（）A、（3，－2）（－3，－2）B、（0，3）（0，－3）C、（3，0）（－3，0）D、（3，－2）（－3，2）题型四：根据坐标对称求代数式的值例1：已知点P(23,3)a和点A)23,1(b关于x轴对称，那么ba=；答案：23习题演练：1、已知点A（2a+3b，－2）和点B（8，3a+2b）关于x轴对称，那么a+b=（）A、2B、－2C、0D、4答案：A2、已知：点P的坐标是(m,1)，且点P关于x轴对称的点的坐标是(3,n2)，则_________,nm；答案：-3；12题型五：根据到坐标轴的距离求坐标例1：过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，则点B坐标为（）．A、（0，2）B、（2，0）C、（0，-3）D、（-3，0）答案：C例2：已知点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则M点的坐标为（）．A、（3，2）B、（-3，-2）C、（3，-2）D、（2，3），（2，-3），（-2，3），（-2，-3）答案：D例3：若点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点P有（）Ａ、１个Ｂ、２个Ｃ、３个Ｄ、４个答案：D习题演练：1、点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是（）A、（4，2）B、（－2，－4）C、（－4，－2）D、（2，4）答案：B2、点E（a,b）到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有（）A、a=3,b=4B、a=±3,b=±4C、a=4,b=3D、a=±4,b=±3答案：D3、已知点P的坐标为（2–a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标是()A、（3，3)B、(3，—3)C、(6，一6)D、(3，3)或(6，一6)答案：D题型六：根据图形的其他顶点坐标求点坐标例1：在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，-5），（-2，-2），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_______象限．答案：一习题演练：1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1,–1）、（–1，2）、（3,–1），则第四个顶点的坐标为（）A、（2，2）B、（3，2）C、（3，3）D、（2，3）答案：B题型七：根据点的坐标求图形的面积例1：已知点A（-2，0）B（4，0）C（-2，-3）。（1）求A、B两点之间的距离。（2）求点C到X轴的距离。（3）求△ABC的面积。答案：（1）6；（2）3；（3）9习题演练：1、在坐标系中，已知A（2，0），B（－3，－4），C（0，0），则△ABC的面积为（）A、4B、6C、8D、3答案：A技巧：割补法求面积题型八：求平移后的坐标例1：已知三角形的三个顶点坐标分别是（－1，4）、（1，1）、（－4，－1），现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）A、（－2，2），（3，4），（1，7）B、（－2，2），（4，3），（1，7）C、（2，2），（3，4），（1，7）D、（2，－2），（3，3），（1，7）答案：A例2：线段CD是由线段AB平移得到的.点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为（）A、（2，9）B、（5，3）C、（1，2）D、（–9，–4）答案：C习题演练：1、已知点32M，，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点，则点的坐标是．答案：（-1,1）题型九：图形变换后点的坐标【例4】将点(22)P，沿x轴的正方向平移4个单位得到点P的坐标是（）Ａ．(26)，Ｂ．(62)，Ｃ．(22)，Ｄ．(22)，【解析】将点P沿x轴的正方向平移时，横坐标发生变化，然纵坐标是不变化的，于是点P的坐标为（2，2），即选C．【点评】处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下，沿x轴正方向平移时，纵坐标的不变性就很直观了．【例5】如图2，将AOB△绕点O逆时针旋转90，得到AOB△．若点A的坐标为()ab，，则点A的坐标为．【解析】从图形上可以看出，逆时针旋转90后，得到的AOB△所在位置也很特殊，即B`恰好落在y轴上，于是点A的纵坐标为a,横坐标应该为-b;故点A的坐标为（-b,a）．【点评】本题分析出得到的AOB△所在位置很特殊还算容易，但在处理坐标时更容易粗心致错，即认为点A的横坐标应该为b，忽视逆时针旋转后点A`所在象限变化到第二象限了．例1：如图4所示，将边长为1的正方