导数的概念(第一课时)课件

3.1导数的概念曲线的切线和瞬时速度问：１、切线的定义：２、这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么能否对任何曲线Ｃ都用该定义“曲线Ｃ的切线”呢？与曲线只有一个公共点的直线例如：抛物线ｙ２＝４ｘ旧切线的定义不适合了曲线Ｃ：y=f(x)上有两点P(x0,y0)，Q（x0+△x，y0+△y），割线ＰＱ的倾斜角为β，则ＭＰ＝＿＿ＭＱ＝＿观察：Ｐ不动，点Q沿着曲线无限向点P靠近，Ｑ运动的情况？ＰＱ的运动情况？XY0PQMxy____tanxyxyx3.1导数的概念1．曲线的切线１、切线：曲线Ｃ：y=f(x)上有两点P(x0,y0)，Q（x0+△x，y0+△y），当点Q沿着曲线无限接近于点P，即△x→０时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么ＰＴ叫做曲线在点Ｐ处的切线２、切线的斜率：设切线ＰＴ的倾斜角为α那么当△x→０时，割线ＰＱ的斜率的极限，就是曲线在点Ｐ处的切线的斜率，即xyx0limtanxxfxxfx)()(lim000我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:xxfxxfxykxx)()(limlimtan0000切线重要结论：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.3.1导数的概念１、已知曲线y=2x2上一点A(1,2)，求：（１）点Ａ处的切线的斜率；（２）点Ａ处的切线方程。2、求曲线y=x2＋１在点Ｐ(－２,５)处的切线方程４y=4x-2y=-4x-3三、例题选讲例1:求过曲线y=cosx上点P()且与过这点的切线垂直的直线方程.21,3.23sin|,sin,cos3xyxyxyx解：；的斜率为点且与切线垂直的直线从而过，处的切线斜率为故曲线在点3223)21,3(PP.0233232),3(3221yxxy即所求的直线方程为例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别.在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.解:设所求切线的切点在A(x0,y0).因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02①.又因为函数y=x2的导数为所以过点A(x0,y0)的切线的斜率为,2xy.2|2|000xxyxxxx由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又应为②.352,3500000xyxxy联立①,②解得:.255110000yxyx或故切点分别为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10;所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25.练习2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0,y0),则有:y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得:3x0+1=x0,x0=-1/2.所以a•(-1/2)3=1,a=4.例求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率．切线方程为:，即)1(22xyxy2