现代控制理论(浙大)第二章

第二章控制系统的状态空间表达式的解本章主要内容：•线性定常齐次状态方程的解（自由解）•矩阵指数函数——状态转移矩阵•线性定常系统非齐次状态方程的解状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统输入、输出与内部状态关系的动态数学模型——状态方程，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务之一。本章重点:讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，并在此基础上导出状态方程的求解公式。2.1齐次状态方程的解1、线性定常系统的运动1）自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解：)0(|)(,0xxAxxtt),(BA0ux2）强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。)(|)(,00txtxBuAxxtt非齐次状态方程的解：),(BAux2、齐次状态方程的解：)()(ttAxx指数函数kktxaktxataxxtx)0(!1)0(!21)0()0()(22一阶标量微分方程)()(taxtx已知状态方程求?)(txaxdtdxdtaxdxatxx)0(lnln)0()(xetxatkkattaktaate!1!21122)(ttAx)(x仿照标量微分方程：kkttttbbbbx2210)(向量代入微分方程：)()()(2210kktttttbbbbAAxx1232132)(kktktttbbbbx123120132kkkAbbAbbAbbAbb对求导：)(tx两式相等必有：123120113121kkkAbbAbbAbbAbb02!21bA03!31bA0!1bAkk123120113121kkkAbbAbbAbbAbb)(ttAx)(x仿照标量微分方程：kkttttbbbbx2210)(向量kktktt0202001!21bAbAAbb123120132kkkAbbAbbAbbAbb02!21bA03!31bA0!1bAkk)1!21(22kktkttAAAI0b代入)(tx)(ttAx)(x)1!21()(22kktktttAAAIx0b0t0)0(bx)0(1!21()(22)xAAAIxkktktttkkttktteAAAIA1!2122矩阵指数函数)(tΦ状态转移矩阵)0()(xxAtet描述了状态向量由初始状态向任意时刻状态转移的内在特性。)0(x)(txkkattaktaate!1!211222.2状态转移矩阵满足初始状态的解是：)0(|)(0xxtt)0()(xxAtet满足初始状态的解是：)()(0)(0tetttxxA)(|)(00ttttxx线性定常系统的齐次状态方程：Axx已知：)()(0)(0ttetetttΦΦAA令：则有：)()()()0()()(00ttttttxΦxxΦx1、状态转移矩阵的含义线性定常系统的状态转移矩阵说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：1）状态转移矩阵初始条件：IΦ)(00tt)()(00ttttAΦΦ2）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵)0(x)0(1t)(12ttt1x2x0)(1tx1t)(2tx2t2、状态转移矩阵的基本性质IΦ)0()1(AΦAΦΦ)()()()2(tttAΦ)0()()()()()()3(122121ttttttΦΦΦΦΦ)()(),()()4(11ttttΦΦΦΦ证明：)0(ΦI推论：)0()()(xΦxtt)()()0(1ttxΦx)()(ttxΦ状态转移具有可逆性)()()()(ttttΦΦΦΦ)(ttΦkkttktteAAAIA1!2122)0()()(xΦxtt)()()()5(1122ttttxΦx证明：)0()()(11xΦxtt)()()()()0(11111ttttxΦxΦx)0()()(22xΦxtt)()()(112tttxΦΦ)()(112tttxΦ)(12ttΦ转移至的状态转移矩阵为)(1tx)(2tx)()()()6(011202ttttttΦΦΦ证明：)()()(0022ttttxΦx)()()(0011ttttxΦx)()()(1122ttttxΦx)()()(00112tttttxΦΦ状态转移可以分段进行！)3()3(xΦt例：已知状态转移矩阵，求AΦ),(1ttttttttteeeeeeeet22222222)(Φ解：性质4)()(1ttΦΦ性质2)0(ΦAtttttttteeeeeeee2222222202222442222ttttttttteeeeeeee3210)()()7(kttkΦΦ证明：tetAΦ)(ktket)()(AΦtkeA)(kteA)(ktΦttttteeeeeABBABABAAB)()8(证明：3322)()(!31)(!21)(tttetBABABAIBA33223322!31!21!31!21tttttteettBBBIAAAIBA33223222)33(!31)2(!21)(tttBABBAAABBABAIABBABAABBABABAAB2)(222222233333)(ABBABABAkkttktteAAAIA1!2122PPPΦPΦPtettA-1-1)()(xx)9(证明：非奇异线性变换xPx非奇异矩阵nn另一组状态变量xPxAxxxAPxAPPx1)0()(1xxAPPet新的系统矩阵新的状态转移矩阵xA)0()()0(xΦxAtetkkttktte)(!1)(!21I122111APPAPPAPPAPPPAAAPkktktt!1!21I221PPAte1PPPΦPΦAtett11)()(1)()(PΦPΦtt3、几个特殊的矩阵指数函数tttneeet00)(21（1）设，即A为对角阵且具有互异元素时，有],,[2,1ndiagAkkttktteAAAIA1!2122（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即ΛAPP-1100)(21PPtttneeet1)()(PΦPΦtt则有（3）设A为约旦阵，即nn101A1000000)!2(10)!1(21)(212tnttntttetnnt第三次课4、状态转移矩阵的计算直接求解法：根据定义标准型法求解：对角线标准型和约当标准型拉氏反变换法kkttktteAAAIA1!2122求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。kkttktteAAAIA!1!21221）根据状态转移矩阵的定义求解：对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的。例：求解系统状态方程21210010xxxx)0()(xxAtetkktkttAAAI!1!2122)0(x0000001000102A00003nAAtettAIΦA)(t00101001101t)0()0(101)()(2121xxttxtx)0()()0()0()(22211xtxtxxtx解：2）标准型法求解：思路：根据状态转移矩阵性质：对A进行非奇异线性变换，得到：APPA1得到：1PPtteeAA有二种标准形式：对角线矩阵、约旦矩阵AtetPP1)(AΦ1)()(PΦPΦtt11P00PPP1ttttneeeeAA其中：P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。（1）当A的特征值为两两相异时：对角线标准型n,,,21求状态转移矩阵的步骤：1）先求得A阵的特征值。2）求对应于的特征向量，并得到P阵及P的逆阵。3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。iiipPp0p)(0)det(iiiiIIAAA即：如果A为友矩阵，且有个互异实特征值nn,,,21naaaa210100001000010A113121122322213211111nnnnnnnPn21APP1解:1)特征值116-11612306115IA1231,2,3例：已知矩阵0116-116-6-115A.Ate试计算状态转移矩阵2)计算特征向量：3)构造变换阵P：941620111P12313432253P1-961p,421p,101p321则有：23232332323232323533342322668966527312916212922tttttttttttttttttttttttteeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee132PP-tttteeeeA（2）当A具有n重特征根：约旦标准型i其中：P为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。111P000)!1(1PPPtttnttttiiiiieteetnteeeeAA的矩阵指数函数约旦矩阵A求状态转移矩阵的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵P。需要说明的是：对于所有重特征值，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据状态转移矩阵的性质，求得。itAe例已知矩阵065102324A.Ate试计算状态转移矩阵解:1)特征值04232156AI2,132,12)计算特征向量和广义特征向量。123112322,,17492546749ppp