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1第4讲全等三角形的判定全等三角形定义：能够的两个三角形对应元素：对应_____、对应、对应。性质：全等三角形的对应边、。全等三角形的、也对应相等。判定：、、、。全等三角形的画图:利用直尺和圆规，根据、、的方法都可画出与已知三角形全等的三角形。知识点3三角形全等的4个种判定公理：SSS（边边边）SAS（边角边）ASA（角边角）AAS（角角边）有三边对应相等的两个三角形全等.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.有两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.知识梳理:DCBAABDABCABDABCSSA不能判定全等典型例题:例1:如图,点B在AE上,∠CAB=∠DAB,要使ΔABC≌ΔABD,可补充的一个条件是.EDCBA分析：现在我们已知A→∠CAB=∠DAB①用SAS,需要补充条件AB=AC,②用ASA,需要补充条件∠CBA=∠DBA,③用AAS,需要补充条件∠C=∠D,④此外,补充条件∠CBE=∠DBE也可以(?)SASASAAASS→AB=AB(公共边).AB=AC∠CBA=∠DBA∠C=∠D∠CBE=∠DBE7例、如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N，∠1=∠2，试说明：（1）△ABE≌△ACD（2）AM=ANANMEDCB12创造条件！？8一、挖掘“隐含条件”判全等1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由ADBC图（1）2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C=,BE=.说说理由.BCODEA图（2）3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=.说说理由.ADBCO图（3）20°5cm3cm学习提示：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！94、如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，•根据“SAS”需要添加条件；•根据“ASA”需要添加条件；•根据“AAS”需要添加条件；ABCDAB=AC∠BDA=∠CDA∠B=∠C友情提示：添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件,有些是图中隐含条件.二.添条件判全等10三、熟练转化“间接条件”判全等6如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△CEB全等吗？为什么？ADBCFE8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。解答7.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ACEBD解答解答116.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△CEB全等吗？为什么？解：∵AE=CF(已知)ADBCFE∴AE－FE=CF－EF(等量减等量，差相等)即AF=CE在△AFD和△CEB中，∴△AFD≌△CEB∠AFD=∠CEB(已知)DF=BE(已知)AF=CE(已证)(SAS)127.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ACEBD解：∵∠CAE=∠BAD(已知)∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE(等量加等量，和相等)即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE∠BAC=∠DAE(已证)AC=AE(已知)∠B=∠D(已知)(AAS)例6:如图,已知,AB=CD,CE=DF,AE=BF,则AE∥DF吗?为什么?FEDCBA证明:AE∥DF,理由是:∵AB=CD(已知)∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.∴ΔACE≌ΔBDF(SSS)在ΔACE和ΔBDF中AC=BD(已证)CE=DF(已知)AE=BF(已知)∴∠E=∠F(全等三角形的对应角相等)∴AE∥DF(内错角相等,两直线平行)典型例题:14实际运用9.测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木Ａ，视线ＡＢ与河岸垂直，然后该人沿河岸步行１０步（每步约0.75M）到O处，进行标记，再向前步行10步到D处，最后背对河岸向前步行20步，此时树木A，标记O，恰好在同一视线上，则河的宽度为米。15ABODC如图是用两根长度相等的拉线固定电线杆的示意图．其中一根拉到B，另一根拉到C。那么C、B两端点到D的距离DC和DB的大小有何关系？说明理由。小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。AC=DC∠ACB=∠DCEBC=EC△ACB≌△DCE(SAS)AB=DEECBAD如图线段AB是一个池塘的长度，现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。例8:如图在ΔABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD交BE于F,若BF=AC,那么∠ABC的大小是()A.40°B.50°C.60°D.45°FEDCBA解:∵AD⊥BC,BE⊥AC∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°∴∠1=∠2在ΔACD和ΔBDF中12∠1=∠2(已证)AC=BF(已知)∠ADC=∠ADB(已证)∴ΔACD≌ΔBDF(ASA)∴AD=BD(全等三角形对应边相等)∴∠ABC=45°.选DD典型例题:1814、已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角形,点D在AE的延长线上。求证：BD+DC=ADABCDE分析：∵AD=AE+ED∴只需证：BD+DC=AE+ED∵BD=ED∴只需证DC=AE即可。例3已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过点E交AD于D，交BC于C.求证：AD+BC=AB点评：证明一条线段是其它两条线段的和，一般可在较长线段上截一线段，使它与两条线段中的一条相等，再证剩下的线段与另一段相等，这种方法叫截长法；或将两线段中的一条延长，使延长部分等于另一线段，再证它与较长线段相等，这种方法叫补短法。4312BCADE证明：在AB上截取AF=AD，连结EF.∴ΔAFE≌ΔABE∴∠AFE=∠D又∵AD//BC∴∠C+∠D=180°∴ΔBFE≌ΔBCE∵AD=AF,∠1=∠2，AE=AE而∠BFE+∠AFE=180°∴∠C=∠BFE又∵∠3=∠4，BE=BE∴BF=BC∴AD+BC=AB2018.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D，试说明：BF∥CEABCDEF2119.如图，ＡＢ＝ＤＣ，ＡＣ＝ＤＢ，你能说明图中∠１＝∠２的理由吗？ＡＢＣＤ１２2220.如图，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ，说出△ABＤ≌△ＣＤＢ的理由。ＡＢＣＤ2321.如图AB＝CD，AD＝BC，O为AD中点，过Ｏ点的直线分别交AD、BC于Ｍ、Ｎ，你能说明∠１＝∠２吗？１２ＤＡＢＣＯ2422如图AB＝AC，∠Ｂ＝∠Ｃ，点Ｄ、Ｅ在BC上，且BD＝CE，那么图中又哪些三角形全等？说明理由。ＡＢＣＤＥ25感悟与反思：１、平行——角相等；２、对顶角——角相等；３、公共角——角相等；４、角平分线——角相等；５、垂直——角相等；６、中点——边相等；７、公共边——边相等；８、旋转——角相等，边相等。26一.挖掘“隐含条件”判全等二.添条件判全等三.转化“间接条件”判全等