信息分析与预测

信息分析与预测教师：苏敏电话：82519545E-mail:hrbeu.edu.cn层次分析法8.1概述层次分析法（analytichierarchyprocess,以下简称AHP）是由美国著名运筹学家，匹兹堡大学教授萨蒂（T．L．Saaty）于二十世纪七十年代初期提出的，并在1977年第一届数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模-------层次分析法”。此后AHP开始引起人们的重视，并逐渐在政治、经济、社会各个领域得到广泛的应用。AHP于1982年传入我国，并迅速传播开来。由于AHP在解决多目标决策问题方面具有比其他方法简便实用的特点，因而被广泛采用。8.1概述AHP法的基本思路是：首先找出解决问题涉及的主要因素，将这些因素按其关联、隶属关系构成递阶层次模型，通过对各层次中各因素的两两比较的方式确定诸因素的相对重要性，然后进行综合判断，确定评价对象相对重要性的总的排序。8.1概述AHP的基本步骤是：1、将问题概念化，找出研究对象所涉及的主要因素。2、分析各因素的关联、隶属关系，构造系统的递阶层次结构。3、对同一层次的各因素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。8.1概述4、由判断矩阵计算被比较因素对上一层次该准则的相对权重，并进行一致性检验。5、计算各层次因素相对于最高层次，即系统目标的合成权重，进行层次总排序，并进行一致性检验。层次分析法的基本步骤8.1概述AHP的整个过程体现了人们的决策思维活动中分析、判断、综合等的基本特征，并将人们的主观比较、判断用数量形式进行表达和处理。虽然AHP的应用需要掌握一定的数学工具，但从本质上说AHP是一种思维方法，是一种充分运用人们的分析、判断、综合能力的系统方法，它并不是一种数学模型，而是用定量分析与定性分析相结合的典范，具有高度的有效性、可靠性和广泛的适用性。8.2层次分析法的基本原理递阶层次结构判断矩阵的建立单一准则下的排序一致性检验层次总排序计算8.2.1递阶层次结构当我们对某个复杂现象的结构进行分析时，常常发现该结构中的各个元素数目及它们之间的相互联系非常庞杂，超出了我们对全部信息清晰理解的能力。在这种情况下，我们往往将大系统分解为一些相互关联的子系统。递阶层次就是一种特殊形式的系统。它模仿了人脑的思维方式，即将一个复杂的问题划分为多层次的结构，每个层次的元素具有大致相等的地位，不同层次的元素间具有某种联系。8.2.1递阶层次结构递阶层次是关于系统结构的抽象概念，是为研究系统各元素的相互关系与功能的相互作用而构成。这些元素按其属性的不同，分成若干组，形成互不相交的层次。上一层次的元素作为准则对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，同时它又受到更上一层元素的支配，这样就形成了层次间自上而下的逐层支配关系，即递阶层次结构。8.2.1递阶层次结构递阶层次结构大致可以分为三个层次：目标层、准则层和方案层，分别对应于最高层、中间层和最低层。目标层只有一个元素，表示了所要解决问题的目的、预定目标；准则层是为了实现目标而建立起来的一套判断准则，往往又可以分为若干个层次；方案层也称为措施层，是为了实现目标、解决问题可供选择的各种决策、措施、方案等。8.2.1递阶层次结构8.2.1递阶层次结构AHP递阶层次结构具有如下主要特征：1、从上到下顺序地存在支配关系2、整个结构中的层次数不受限制，层次数的多少取决于问题的复杂程度和系统分析的需要。最高层次的元素，即系统目标只能有一个。每个元素所支配的下一层次的元素一般不超过9个，元素过多时或需要时可进一步分组，同一层次元素的位置可以变动。8.2.1递阶层次结构3、层次之间元素的联系比同一层次各元素间的联系要强的多，同一层次的各元素视为是相互独立的。如果出现层次内部元素的联系较为密切，以至于不能忽略时，则层次位置和结构必须重新确定。8.2.1递阶层次结构8.2.1递阶层次结构递阶层次结构表示层次分析的结构模型，可以清楚地描述系统各组成部分、要素的关联、隶属关系，以及高层次元素的排序变化对低层次中元素排序的影响，这比采用总体组合的方法处理系统问题要迅速、有效得多。同时，递阶层次结构也具有很强的灵活性和稳定性。8.2.2判断矩阵的建立在构建出递阶层次结构之后，再按照某一准则，对同一层次的元素相对于上一层次的某个元素进行一对一的比较，按标度构造出判断矩阵。Saaty开创性地提出了成对元素两两比较的方法，充分运用了人的经验、知识和判断能力，统一了有形与无形、可定量与不可定量的诸多因素，是解决许多社会经济系统问题的有力手段。8.2.2判断矩阵的建立8.2.2判断矩阵的建立采用两两比较的方法与将所有元素与同一元素比较的方法相比，不仅可以减少比较的次数，更重要的是可以降低个别判断错误对总体排序所造成的影响，避免系统性判断错误。当然，在两两比较时，比较判断的不一致性难以避免，这就需要对不一致的程度进行估计和控制。8.2.2判断矩阵的建立AHP中我们并不追求每一组元素在两两比较判断中的一致性，而是希望每个比较都能独立地进行，这样可以提供尽可能多的信息，降低个别判断失误的影响，从而尽可能提高最后结果的一致性。实际上心理学的研究表明，在同时进行比较的对象不超过（7±2）个的情况下，人的判断具有良好的一致性。8.2.2判断矩阵的建立采用两两比较的方法是否可靠呢？Saaty用如下实验证明了两两比较具有相当的可靠性。?????8.2.2判断矩阵的建立将四把相同的椅子摆成一行，分别距离光源9m,15m,21m,28m，观察者在光源处进行观察，两两比较这些椅子的光照强度，然后应用AHP求出这些椅子的相对亮度，并与根据光学定律所计算得出的理论值进行比较。这个实验由两名观察者分别独立进行，通过对椅子亮度的两两比较，得到如下的两个判断矩阵。8.2.2判断矩阵的建立判断矩阵的一般形式：若相对Ak元素下一层各元素B1,B2,…Bn按照1-9的标度进行两两比较，即可得出对于Ak的判断矩阵：8.2.2判断矩阵的建立8.2.2判断矩阵的建立判断矩阵必然具有下述性质：aij0,aji=1/aij,aii=1当元素间的两两比较判断具有传递性时，有aij=aik.akj(i,j,k=1,2,…,n)（式8-1）上式成立则称该判断矩阵为一致性矩阵，在AHP中，判断矩阵通常为不一致性矩阵。8.2.3单一准则下的排序判断矩阵建立之后，可以求得在该准则下，各元素相对重要性的排序，这一过程称为单一准则下的排序。8.2.3单一准则下的排序2、最大特征根计算方法和积法方根法8.2.3单一准则下的排序和积法的工作步骤如下：将判断矩阵每一列归一化每一列均经归一化后的判断矩阵按行相加nkkjijijaaa1nji,...,2,1,njijiaW1ni,...,2,18.2.3单一准则下的排序将向量归一化所得到的向量即为所求的特征向量Tn),...,,(21nkkiiTn),...,,(218.2.3单一准则下的排序计算判断矩阵的最大特征根niiinWAW1max)()(8.2.4一致性检验层次分析法判断矩阵的构成具有独特性，任何一个专家在对复杂系统按层次分析法中判断矩阵的构成进行逐对判断时，其结果原则上应满足（式8-1），但这只是一种理想状态，由于客观事物的复杂性和人们认识能力的局限性，人们在对客观事物进行判断时，难免会出现一些或大或小的差错，若差错很小且在允许的范围之内，则可以考虑接受所得到的结论；但是，如果差错太大，超出了允许的范围，则所得到的结论不能被接受，专家的判断是无效的。8.2.4一致性检验为了保证利用层次分析法得到的结论基本合理，必须对人们对客观事物的定性分析判断进行严格的“是否一致”的定量检验。8.2.4一致性检验在实际的一致性检验中，要先计算出最大特征根的近似值，的值越接近n（判断矩阵的阶数），则判断矩阵的一致性就越好。通常用CI，称为一致性指标来衡量判断矩阵的不一致程度。maxmaxmaxmaxmax8.2.4一致性检验显然，CI值越小，矩阵的一致性程度越好，因此，可以使用CI来表明判断矩阵一致性的程度。但是，比较的元素越多，即判断矩阵的阶数越高，两两比较越难达到一致。因此，对于不同阶数的判断矩阵，为达到满意一致性的CI临界值应该不同，因此引入了平均随机一致性指标RI。)1/()(maxnnCI8.2.4一致性检验RI取值表8.2.4一致性检验判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率，记为CR。当CR=CI/RI≤0.10时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，否则应重新进行判断来调整判断矩阵的元素，直至达到满意的一致性为止。8.2.5层次总排序计算为了求出最低层次所有元素对于最高层次的相对重要性的权重向量，可采用逐层叠加的方法，从最高层次开始，由高向低逐层进行计算。假定，总目标下的第一层次A有m个元素A1,A2,…,Am,相邻的下一层次B有n个元素B1,B2,…,Bn,通过单层次的计算，得出A层的单层排序权值a1,a2,…,am,以及B层因素B1,B2,…,Bn,对于Aj,的单层排序权值b1j,b2j,…,bnj,则B层次对总目标的层次总排序值可由下表给出：8.2.5层次总排序计算8.2.5层次总排序计算如此类推，可以推算出所有层次对总目标的层次总排序值。与单层次排序一致性检验相同，每进行一层的递推，都必须作相应的层次总排序的一致性检验。假定B层次因素对于Aj总排序的一致性指标为CIj,相应的平均随机一致性指标为RIj,,则B层次总排序的随机一致性比率为：8.2.5层次总排序计算当求出的CR≤0.10时，表明该层次总排序的结果具有满意的一致性。mjjjmjjjRIaCIaCR11..层次分析法应用实例8.2.6层次分析法应用实例某机构欲购置一台满意的电脑，有三种型号可供选择，假设要求电脑首先是功能要强，其次才是维修容易，最后才是价格低。甲型号的电脑性能较好，价格一般，维护需要一般技术水平；乙型号电脑性能最好，价格较贵，维护需要一般技术水平；丙型号电脑性能较差，但价格便宜，容易维护。问该如何选择？8.2.6层次分析法应用实例建立层次分析结构模型根据实际情况，可以确定该问题的目标及准则，即目标是购置一台满意的计算机设备，准则是功能强、价格低、维修容易，有三种方案即三种型号的设备可选择。因此层次分析结构模型可建立如下：8.2.6层次分析法应用实例8.2.6层次分析法应用实例建立判断矩阵在这三种可供选择的方案中，根据具体两两比较分析，可得到各种判断矩阵：8.2.6层次分析法应用实例对于准则C1（功能强）来说，判断矩阵为：8.2.6层次分析法应用实例对于准则C2（价格低）来说，判断矩阵为：8.2.6层次分析法应用实例对于准则C3（易维护）来说，判断矩阵为：8.2.6层次分析法应用实例至于这三个准则对目标层的总目标来说的评定顺序，根据购置的具体要求首先是要功能强，其次才是易维护，最后才是价格低，则判断矩阵为：8.2.6层次分析法应用实例层次单排序和积法：对于准则C2，其判断矩阵为1838/114/13/1418.2.6层次分析法应用实例将每一列元素进行归一化处理nkkjijijaaa1i,j=1,2,…n31125.434/11iia235.025.4/111a059.025.44/121a706.025.4/331a31213814iia308.013/412a077.013/122a615.013/832a313458.118/13/1iia229.0458.13/113a086.0458.18/123a686.0458.1133a8.2.6层次分析法应用实例得到归一化的判断矩阵为686.0615.0706.0086.0077