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列方程(组)解应用题一元一次不等式和一元一次不等式组1．列方程(组)解应用题的一般步骤：(1)；(2)；(3)找出包含未知数的；(4)；(5)；(6)．要点梳理审题设元等量关系列出方程(组)求出方程(组)的解检验并作答2．各类应用题的等量关系：(1)行程问题：路程＝速度×时间；相遇问题：两者路程之和＝全程；追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程．(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间．(3)几何图形问题：面积问题：S长方形＝ab(a、b分别表示长和宽)；S正方形＝a2(a表示边长)；S圆＝πr2(r表示圆的半径)．体积问题：V长方体＝abh(a、b、h分别表示长、宽、高)；V正方体＝a3(a表示边长)；V圆锥＝πr2h(r表示底面圆的半径，h表示高)；其它几何图形问题：如线段、周长等．(4)增长率问题：如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系是：a(1±x)n＝A.(5)利润问题：利润＝销售价－进货价；利润率＝；销售价＝(1＋利润率)×进货价．(6)利息问题：利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金＋利息．利润进货价1．正确理解方程是一种重要的数学模型实际生活中的许多问题都与数学有关，我们需要将实际问题转化成数学问题，通过解决相应的数学问题去解决实际问题，这就是“数学建模”的意义．方程是一种重要的数学模型，可以解决很多实际问题，构建刻画实际问题的一元一次方程、二元一次方程(组)、一元二次方程等就是贯穿本课时的中心问题．2．掌握列方程(组)解应用题的基本思想列方程(组)解应用题是把“未知”转化成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等．[难点正本疑点清源]1．(2011·日照)某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有()A．54盏B．55盏C．56盏D．57盏解析：设需更换的新型节能灯有x盏，则70(x－1)＝(106－1)×36，解之得x＝55.基础自测Bx12－560解析：小明准时到校所需时间可表示为时或时，所以＋＝－.x15＋1060x151060x125602．(2011·铜仁)小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是()A.＋＝－B.－＝＋C.－＝－D.＋10＝－5x151060x12560x151060x12560x151060x12560x15x12A3．(2012·宁夏)甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是()A.B.C.D.x＋y＝100，1＋10%x＋1－40%y＝100×1＋20%x＋y＝100，1－10%x＋1＋40%y＝100×20%x＋y＝100，1－10%x＋1＋40%y＝100×1＋20%x＋y＝100，1＋10%x＋1－40%y＝100×20%C解析：调价后，甲商品的单价为(1－10%)x元，乙商品的单价为(1＋40%)y元．两种商品的单价和为100×(1＋20%)．故选C.4．(2011·兰州)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为()A．x(x－1)＝2070B．x(x＋1)＝2070C．2x(x＋1)＝2070D.＝2070解析：每名学生向其他同学送了(x－1)张照片，所以有x(x－1)＝2070.xx－12A5．(2012·毕节)某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2008年投入3000万元，预计2010年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是()A．3000(1＋x)2＝5000B．3000x2＝50000C．3000(1＋x%)2＝50000D．3000(1＋x)＋3000(1＋x)2＝5000解析：2009年该县投入3000＋3000x＝3000(1＋x)万元，2010年投入3000(1＋x)＋3000(1＋x)·x＝3000(1＋x)2万元．故选A.A题型一一元一次方程的应用【例1】目前某省小学和初中在校生共136万人，小学在校生人数比初中在校生人数的2倍少2万人．问目前这个省小学和初中在校生各有多少万人？解：设这个省初中在校生x万人，则小学在校生(2x－2)万人．∴x＋(2x－2)＝136,3x＝138，x＝46，∴2x－2＝90.答：目前这个省初中在校生46万人，小学在校生90万人．题型分类深度剖析探究提高列方程解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，推导出相等关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用．知能迁移1(2012·海南)2010年上海世博会入园门票有11种之多，其中“指定日普通票”价格为200元一张，“指定日优惠票”价格为120元一张，某门票销售点在5月1日开幕式这一天共售出这两种门票1200张，收入216000元，该销售点这天分别售出这两种门票多少张？解：设售出“指定日普通票”x张，则售出“指定日优惠票”(1200－x)张.∴200x＋120(1200－x)＝216000，解之，得x＝900，∴1200－x＝300.答：售出“指定日普通票”900张，售出“指定日优惠票”300张．题型二二元一次方程组的应用【例2】某刊物报道：“2008年12月15日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，‘大三通’基本实现．‘大三通’最直接的好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省4小时，海运平均每航次可节省22小时，以两岸每年往来合计500万人次计算，则共可为民众节省2900万小时……”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次．解：设每年采用空运、海运往来两岸的人员分别是x万人次及y万人次．∴解之得答：每年采用空运往来两岸的有450万人，海运有50万人．x＋y＝500，4x＋22y＝2900，x＝450，y＝50.探究提高本题考查学生的阅读能力和处理信息能力，学生需通过分析抽象出数学问题，然后用所学知识去解决．知能迁移2为了加快社会主义新农村建设，让农民享受改革开放30年取得的成果，党中央、国务院决定：凡农民购买家电和摩托车享受政府13%的补贴(凭购物发票到乡镇财政所按13%领取补贴)．星星村李伯伯家今年购买了一台彩电和一辆摩托车共花去6000元，且该辆摩托车的单价比所买彩电的单价的2倍还多600元．(1)李伯伯可以到乡财政所领到的补贴是多少元？(2)求李伯伯家所买的摩托车与彩电的单价各是多少元？解：(1)6000×13%＝780(元)．(2)设李伯伯家所买的摩托车单价是x元，彩电单价是y元，∴解之，得答：李伯伯家所买的摩托车单价是4200元，彩电单价是1800元．x＋y＝6000，x＝2y＋600，x＝4200，y＝1800.车间零件总个数平均每小时生产零件个数所用时间甲车间600x乙车间900【例3】甲、乙两车间生产同一种零件，乙车间比甲车间平均每小时多生产30个，甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用时间相等，设甲车间平均每小时生产x个零件，请按要求解决下列问题：(1)根据题意，填写下表：600xx＋30900x＋30(2)甲、乙两车间平均每小时各生产多少个零件？解：＝，解之得x＝60，经检验：x＝60是所列方程的解，∴x＋30＝90.答：甲车间平均每小时生产60个零件，乙车间平均每小时生产90个零件．探究提高1.当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后再求出另一个未知量的值.2.本题中工作时间＝工作量÷工作效率，出现分式，宜用分式方程来解．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．600x900x＋30知能迁移3(2011·泰安)某工厂承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务．已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？解：设甲车间每天加工零件x个，则乙车间每天加工零件1.5x个．根据题意，得－＝12，解之，得x＝60.经检验，x＝60是方程的解，符合题意．1.5x＝90.答：甲、乙两车间每天加工零件分别为60个、90个.2100－900x2100－900x＋1.5x题型四一元二次方程的应用【例4】新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：设每台冰箱降价x元．[1分](2900－x－2500)×(8＋×4)＝5000，[4分](400－x)(8＋x)＝5000，x2－300x＋22500＝0，(x－150)2＝0，∴x1＝x2＝150.[6分]∴2900－150＝2750.[7分]答：每台冰箱的定价是2750元．[8分]x50225探究提高现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程，本题采用灵活的间接设未知数的方法．知能迁移4(2012·鞍山)小华将勤工俭学挣得的100元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和63元，求第一次存款的年利率(不计利息税)．解：设第一次存款的年利率是x，[100(1＋x)－50]×(1＋x)＝63.解得，x1＝，x2＝－(舍去)，∴x＝＝10%.答：第一次存款的年利率(不计利息税)是10%.121101351104．解应用题勿以偏概全考题再现甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．学生作答解：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米，得解得答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米．答题规范3x＋3y＝30－3，30－3＋2x＝2[30－3＋2y]，x＝4，y＝5.规范解答解：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米．①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，得解得②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得解得答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米；或甲的速度为每小时5千米，乙的速度为每小时5千米．3x＋3y＝30－3，30－3＋2x＝2[30－3＋2y]，x＝4，y＝5.3x＋3y＝30＋3，30－3＋2x＝2[30－3＋2y]，x＝513，y＝523.1323老师忠告1．有些应用题，由于题目所给条件比较隐蔽，符合题意的情况有多种，解这类应用题时要考虑周全，把各种情况下的解全求出来，这样不致于失解，否则会造成解答不完整，犯以偏概全的错误．2．分类的思想方法实质上就是按照数学对象的共同性质和差异性，将其区分为不同种类的思想方法，分类