非线性电路微分方程的数值解法

第8章混沌电路的分析与设计本章介绍现代电路理论的一个重要内容就是现代非线性电路理论，而现代非线性电路的一个重要内容就是混沌电路。传统的非线性电路主要研究频率变换电路、非线性器件、功率放大电路、振荡电路、模拟乘法电路、混频电路、调制与解调电路以及这些电路中的非线性特性及分析与设计方法等。它的一个主要特征是，当信号经过这种电路后将会产生新的频率分量。现代非线性电路则主要研究混沌电路。“混沌”一词的基本含义是无序、不确定。混沌作为一门科学，至今在学术界尚无统一的定义。一般来说，混沌是自然界中由确定性的运动条件而导致的不确定、如同随机运动的一类运动状态。混沌运动是普遍存在于人类生活、自然科学各个领域的一种基本的非线性现象。当然，混沌也存在于电子学的各个领域，它在电子学中涉及的范围也是相当广泛的。本章介绍过去，由于技术和观念的局限，我们总是将不少的非线性系统在某个区间内或在一定的条件下简化为线性问题来处理。然而，我们周围的很多事物实际上都是以非线性的规律运行着。混沌学就是力图探索非线性系统运动的真实规律，揭示它的本质，刻画它的基本特征，了解它的动力学行为，并对它加以控制和利用。本章主要研究非线性电路的一般处理方法、典型的混沌电路以及混沌电路的分析与设计方法。同时还简单介绍混沌电路在保密通信方面的运用。本章介绍8.1混沌电路为了对混沌电路有一个初步的了解，下面介绍如下图所示的最简单的混沌电路，该电路称为林森混沌电路。电路由电阻R、电感L、变容二极管D和一个外加输入信号u组成。如果元件值取R=200，L=100µH，变容二极管D选1N4001型，输入信号u是频率f=2MHz、振幅值Um可以变化的正弦波电压。林森混沌电路当改变输入信号的振幅值而观察电路中回路电流i的变化情况时，就会发现如下现象：当输入电压的振幅值Um小于1V时，回路电流i是一个与输入信号同频率、同周期的非正弦电流。回路电流i的频率为f=2MHz，周期为T=1/f=0.5μs。回路电流i的周期变化与输入信号的幅值Um的关系如下图中0～Um1段所示。8.1混沌电路当输入电压的幅值Um增加至1~2V之间的某一个值Um1时，回路电流i是一个周期性的非正弦电流，而且它的幅度具有如下的规律：在激励信号的第一个周期，响应电流i的振幅较小。而在激励信号的第二个周期，响应电流i的的振幅较大。在激励信号的第三周期，响应电流i的振幅与激励信号的第一个周期时相同。在激励信号的第四个周期，响应电流i的振幅与激励信号的第二个周期时相同。可见，在这个电路中，激励信号变化了四个周期，响应信号变化了两个周期。这种现象称为2周期分岔。8.1混沌电路以输入激励信号的幅值Um为横轴，以等激励周期横截输出所得点为纵轴，得到倍周期分岔图如下图所示。当输入电压的幅值Um继续增长，例如达到Um2时，回路电流仍为周期性的非正弦电流，但它的周期变为输入信号周期的4倍，即Tm2=4T=1/(4f)。这种现象称为4周期分岔。回路电流i的周期数与输入信号的幅值Um的关系如下图中Um2～Um4段所示。8.1混沌电路之后，回路电流仍然是周期性的非正弦电流，但它的周期会变为输入信号周期的8倍、16倍。即出现8周期分岔和16周期分岔。自16周期分岔后，电路的电流开始变成非周期性的非正弦电流，而且该电流在一定区域内进行永不重复的振荡，如右图所示。这时我们称电路进入了混沌状态。8.1混沌电路如果电路的条件不发生变化或在一定的范围内变化，这种状态将会在电路中一直持续下去。输入电压变化时混沌持续进行的这个区域称为混沌区。在该电路中，混沌区实际上是指能够使混沌持续进行的输入电压变化的一个范围。在经过一个混沌区后，随着输入电压幅值的增加，电路中还会出现3周期分岔、6周期分岔、12周期分岔。然后再进入另一个混沌区。8.1混沌电路左图和右图所示的电压电流关系说明上图的电路产生了混沌现象。这种能产生混沌形象的电路称为混沌电路。混沌电路的主要研究内容包括混沌电路的概念、数学基础、基本分析方法、基本设计方法、电路中的分形、混沌测量与控制、混沌保密通信、孤立子通信、神经网络电路以及混沌电路在现代通信系统和信号处理中的应用等。8.1混沌电路一个电路能够产生混沌现象的最基本条件是电路中有非线性元件。如果电路中一个元件的参数随电路变量的变化而变化，则该元件称为非线性元件。常遇到的非线性元件有非线性电阻、非线性电容和非线性电感。如果一个电路中含有非线性元件，则该电路就叫做非线性电路；如果一个非线性电路中只含有非线性电阻，而不含有其他非线性元件，则该电路就叫做非线性电阻电路；如果一个非线性电路中含有非线性电容或非线性电感这样的动态元件，则该电路就叫做非线性动态电路。8.1混沌电路不管是非线性电阻电路还是非线性动态电路，都可以分为时变电路和时不变电路两种。非线性电阻电路和非线性动态电路的数学描述方法和分析方法都不相同。非线性电阻电路由非线性代数方程描述，非线性动态电路则由非线性常微分方程描述。下面首先讨论非线性电阻电路。非线性电阻电路的分析方法主要有图解法和分段线性化两种方法。8.1混沌电路8.2.1图解法在模拟电路的学习中，我们对于含有二极管、三极管等非线性元件的非线性电阻电路都是采用图解的方法进行分析。利用同样的方法可以分析任意的非线性电阻电路，如下图所示。图(a)是一个非线性电阻电路。其中，虚线框内为该电路中线性部分的戴维南等效电路，它的伏安特性如图(b)中的直线所示。ROVO+_i=g(v)iv_+iVO/ROVO0Q1Q2Q3v(a)(b)8.1混沌电路从下图中的直线可以看出，该直线与戴维南等效电路的等效电压VO和等效内阻RO的大小有关。电压VO就是该电路的激励电源。电路中的非线性电阻用其伏安特性i=g(v)来表示，如下图中曲线所示。如果把非线性电阻视为一个二端网络，那么下图中的曲线所示的端口电流（或电压）与端口电压（或电流）的这种伏安特性称为该非线性电阻的驱动特性，简称为DP图。iVO/ROVO0Q1Q2Q3v8.1混沌电路ROVO+_i=g(v)iv_+iVO/ROVO0Q1Q2Q3v(a)(b)在图(a)中，电路的线性部分和非线性部分接在一个共同的端口上。因此，该非线性电路的解就是图(b)中直线和曲线的交点。这些交点是在电路的激励电压为某一恒定值的条件下得出的，因此也称为静态工作点。由于直线和曲线有可能交于一个点，也可能交于多个点，也可能根本没有交点，因此电路的静态工作点可能有一个，也可能有多个，也可能根本没有。8.1混沌电路如果一个一般的非线性电路有(n+m)个电路变量，那么上页图(b)中直线和曲线就变成(n+m)个曲面，这些曲面的交点（线）就代表该非线性电路的静态工作点。4.1混沌电路8.2.2分段线性化法分段线性化方法实际上是一种对非线性电路进行近似求解的方法。对于一个含非线性电阻的电路，分段线性化的具体方法是：首先根据计算精度的需要把非线性电阻的DP图分成几个曲线段，然后用直线段去近似地代替这些曲线段。则在每一个直线段的定义区域内，该非线性电路中的非线性电阻就可以用一个线性电阻来代替，将该非线性电路转化成线性电路，对它进行分析和求解，最后求出各段解的组合，就是该非线性电路的解。8.2非线性电阻电路下图中实线所示的是一个非线性电阻的伏安特性曲线，三条虚线段OA、AC和CD就是对该非线性电阻的分段线性表示。这样进行分段线性化的过程实际上是用三个线性电阻近似代替了这个非线性电阻。在三个线性电阻中，虚线段OA和CD代表两个正电阻，虚线段AC代表一个负电阻。i0vABCD8.2非线性电阻电路从上面的分析可以看出，分段线性化方法实际上是用几个线性伏安特性的组合去逼近一个非线性电阻的伏安特性，从而达到用几个线性电路的组合去逼近一个非线性电路，从而就可以用几个线性电路分析结果的组合去逼近对一个非线性电路的分析，从而求出该非线性电路的解。8.2非线性电阻电路混沌电路中经常用到如下图实线所示的非线性电阻。它的特性中有一段必须是负电阻，如图中的曲线ABC段所示。这种非线性电阻是通过分段线性电阻电路的组合来实现的。各分段线性电阻的伏安特性分别如图中的直线OA、AC和CD所示。由于这种特性中有一段具有负电阻的特性，所以这样实现的非线性电阻称为分段线性负电阻。i0vABCD8.3分段线性电阻的实现从物理概念来看，实现负电阻的电路是一个能输出电能的电源性电路。实现分段线性负电阻的电路有多种，它可以由运算放大器组成的几个线性负电阻电路并联而成，或由一个线性负电阻电路和两个钳位二极管电路组成，还可以由正电阻电路通过适当的转换实现负电阻电路。下面分别进行讨论。8.3分段线性电阻的实现8.3.1单运算放大器分段线性电阻电路用一个运算放大器实现的分段线性电阻电路如下图(a)所示。电路输入端口的伏安特性曲线如下图(b)所示。由图可见，它的伏安特性曲线分成三段，每段都是线性的。中间一段呈现负电阻特性，它对应于运算放大器的线性放大区。下面分析该电路的工作原理。OV1R2R3RAVBVIIIVVbESSV1RIIIIV1E1ESSV（a）(b)单运算放大器分段线性电阻电路和伏安特性曲线8.3分段线性电阻的实现在图(a)中，假定放大器的输入电压VI的取值在－E1≤VI≤+E1范围内，可以保证电路工作在线性放大区，如图(b)所示。在满足R1=R2、V+=|V-|的条件下，有：可见，当运算放大器工作在线性放大区时，该电路的驱动点特性为一个负电阻。图(b)中，E1和－E1称为曲线的转折电压，V+和V-分别是运算放大器的正、负饱和电压即正、负电源电压，单位都是伏。下面求转折电压E1的值。333222111111RRRRRVVRVVRRVVVIVIVBOAOOAARAII8.3分段线性电阻的实现当输入电压VI较小时，运算放大器工作在线性区，放大器的输出电压VO的范围为V-VOV＋。当输入电压VI增加到某一个临界值时，运算放大器开始工作在饱和区，输出电压VO值将达到电源电压V+。这时输入电压VI的值即为E1。当输入电压VI继续增加时，运算放大器继续工作在饱和状态。由于运算放大器的非线性限幅特性，使得电路的输出电压VO将保持不变。考虑到R1=R2，从而有：VRRRVRRRE31332318.3分段线性电阻的实现333222111111RRRRRVVRVVRRVVVIVIVBOAOOAARAIIVRRRVRRRE3133231由以上两式，可得图(b)所示特性曲线在第二﹑四象限内的拐点坐标分别为：111133,,,EEEERR当放大器的输入电压VI的取值范围为VI-E1及VI+E1时，电路工作在非线性区。在非线性区内，电路特性曲线的斜率为：1RIVII8.3分段线性电阻的实现将式中的两个拐点坐标分别代入点斜式方程，求出图中拐点之外折线的方程，如第四象限内有：1313321)(RRRVRVRRVIII即得：)()11(313313311VRRRVVRRRRRRVIIII将代入上式，并将II、VI的下标去掉，上式可以表示为)()11(11311EVERRRVI8.3分段线性电阻的实现VRRRVRRRE3133231从而求得图(b)所示的曲线的表达式为：)()11()()()11(1131111311311EVERRRVEVERVEVERRRVI上式也可表示为：)(|)||)(|11(21111311EVEVEVRRRVI可见它是利用运算放大器的限幅特性构成分段线性特性的。8.3分段线性电阻的实现8.3.2双运算放大器分段线性电阻电路由两个运算放大器构成的分段线性电阻电路如图(b)所示。它实际上是由两个图(a)所示的电路并联构成的。图中两个负电阻电路的转折电压不同。两个电路各自的特性分别如右图中细实线和虚线所示。1R2R3RAVBVIIIVVVO'1R'2RVVSS