圆锥曲线几何最值专题训练

专题二压轴解答题第二关以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大．注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．类型一离心率问题典例1如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221(0)xyabab的右焦点为F，点A是椭圆的左顶点，过原点的直线MN与椭圆交于M，N两点（M在第三象限），与椭圆的右准线交于P点.已知AMMN，且243OAOMb.（1）求椭圆C的离心率e；（2）若103AMNPOESSa，求椭圆C的标准方程.【答案】(1)32e；(2)22182xy.（2）由（1）222,33Mbb，右准线方程为433xb，直线MN的方程为2yx，所以4346,33Pbb，12POFPSOFy23462223bbb2AMNAOMSS22242233MOAybbb，所以2242102233bba，21022033bb，所以2b，22a椭圆C的标准方程为22182xy.【名师指点】求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定,,abc的等量关系，然后把b用,ac代换，求ca的值．【举一反三】已知椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为12,FF，过1F且与x轴垂直的直线交椭圆于AB、两点，直线2AF与椭圆的另一个交点为C，若23ABCBCFSS，则椭圆的离心率为________.【答案】55类型二最值、范围问题典例2已知椭圆2222:1(0)xyEabab的离心率为12，圆222:(0)Oxyrr与x轴交于点MN、，P为椭圆E上的动点，2PMPNa，PMN面积最大值为3．（1）求圆O与椭圆E的方程；（2）圆O的切线l交椭圆于点AB、，求AB的取值范围．【答案】（1）圆O的方程为221xy，椭圆E的方程为22143xy．（2）4633，【解析】（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，1122,,,AxkxmBxkxm因为直线l与圆相切，所以211mk，即221mk，联立221{43xyykxm，消去y可得2224384120kxkmxm，22221212228412484348320,,4343kmmkmkxxxxkk，2222212122431443143kmABkxxxxkk2222223131334313244443434kkkkkk2221111333162344kk令2134tk，则2140334tk，所以211433,01623ABttt，所以2134416ABt，所以4633AB②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x，解得331,,1,,322ABAB，综上，AB的取值范围是4633，．【名师指点】求最值、范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围.【举一反三】已知椭圆222210xyabab的离心率33e，左、右焦点分别为12,FF，且2F与抛物线24yx的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F的直线交椭圆于,BD两点，过2F的直线交椭圆于,AC两点，且ACBD，求ACBD的最小值.【答案】（1）椭圆的标准方程为22132xy；（2）ACBD的最小值为1635.【解析】（1）抛物线24yx的焦点为1,0，所以1c，又因为133ceaa，所以3a，所以22b，所以椭圆的标准方程为22132xy.22121212114BDkxxkxxxx2243132kk.易知AC的斜率为1k，所以2222143143112332kkACkk.222114313223ACBDkkk22222222220312031322332232kkkkkk2222203116352514kk.当21k，即1k时，上式取等号，故ACBD的最小值为1635.（ii）当直线BD的斜率不存在或等于零时，易得10316335ACBD.综上，ACBD的最小值为1635.类型三面积问题典例3平面直角坐标系xOy中，圆222150xyx的圆心为M.已知点1,0N，且T为圆M上的动点，线段TN的中垂线交TM于点P.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的轨迹为曲线1C，抛物线2C：22ypx的焦点为N.1l，2l是过点N互相垂直的两条直线，直线1l与曲线1C交于A，C两点，直线2l与曲线2C交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.【答案】（1）22143xy；（2）四边形ABCD面积的取值范围是8,.（Ⅱ）∵22ypx的焦点为1,0，2C的方程为24yx，当直线1l斜率不存在时，2l与2C只有一个交点，不合题意.当直线1l斜率为0时，可求得4AC，4BD，∴182ABCDSACBD.当直线1l斜率存在且不为0时，方程可设为10ykkk，代入22143xy得222348kxkx24120k，214410k，设11,Axy，22,Bxy，则2122834kxxk，212241234kxxk，2121ACkxx22121214kxxxx2212134kk.直线2l的方程为11yxk与24yx可联立得222410xkx，设33,Bxy，44,Dxy，则212244BDxxk，∴四边形ABCD的面积12SACBD222121144234kkk22224134kk.令234kt，则23(3)4tkt，232414tStt3122tt，∴St在3,是增函数，38StS，综上，四边形ABCD面积的取值范围是8,.【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键．【举一反三】已知12,FF是椭圆2222:1(0)xyMabab的左、右焦点,点2,3A在椭圆M上,且离心率为12e(1)求椭圆M的方程；(2)若12FAF的角平分线所在的直线l与椭圆M的另一个交点为,BC为椭圆M上的一点,当ABC面积最大时,求点C的坐标.【答案】(1)2211612xy(2)16191619,1919【解析】(1)由椭圆M经过点2,3A,离心率12e,可得22491a{12bca,解得2216,12ab,所以椭圆的标准方程为2211612xy直线l的方程为210xy,设过C点且平行于l的直线为20xym由221{161220xyxym,整理得2219164120xmxm由22164194120mm,解得276m,因为m为直线20xym在y轴上的截距,依题意,0m,故219m解得161919x，161919y，所以C点的坐标为16191619,1919【精选名校模拟】1．如图，一张坐标纸上一已作出圆22:18Exy及点1,0P，折叠此纸片，使P与圆周上某点'P重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线'EP的交点为M，令点M的轨迹为C.（1）求轨迹C的方程；（2）若直线:lykxm与轨迹C交于两个不同的点,AB，且直线l与以EP为直径的圆相切，若23,34OAOB，求ABO的面积的取值范围.【答案】(1)2212xy；(2)62,43.【解析】（2）l与以EP为直径的圆221xy相切，则O到l即直线AB的距离：211mk，即221mk，由221{2xyykxm，消去y，得222124220kxkmxm，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴2222216812180kmkmk，20k，设11,Axy，22,Bxy，则122412kmxxk，21222212mxxk，1212yykxmkxm22212122112kkxxkmxxmk，又1212OAOBxxyy22112kk，∴222133124kk，∴2112k，2111122AOBSABk222242241212kmmkk4242241kkkk设42kk，则324，∴241AOBS112241，3,24，∵AOBS关于在3,24单调递增，∴6243AOBS，∴AOB的面积的取值范围是62,43.2.设椭圆:C12222byax)0(ba的左、右焦点分别为1F，2F，上顶点为A，过A与2AF垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且12220FFFQ．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若过A、Q、2F三点的圆恰好与直线033yx相切，求椭圆C的方程；（Ⅲ）过2F的直线l与（Ⅱ）中椭圆交于不同的两点M、N，则MNF1的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）12e；（Ⅱ）椭圆C的方程为13422yx；（Ⅲ）存在，直线l的方程为1x.【解析】x，再借助韦达定理来解决即可.试题解析：（Ⅰ）由题),0(bA，1F为2QF的中点．设)0,(1cF，)0,(2cF，则)0,3(cQ，),3(bcAQ，),(2bcAF由题2AFAQ，即03222bcAFAQ，0)(3222cac即224ca21ace（Ⅲ）设),(11yxM，),(22yxN，由题21,yy异号．设MNF1的内切圆的半径为R，则MNF1的周长为84a，RRNFMFMNSMNF4|)||||(|21111，因此要使MNF1内切圆的面积最大，只需R最大，此时MNFS1也最大．||||||212121211yyyyFFSMNF，由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为1myx，由134122yxmyx得096)43(22myym，由韦达定理得436221mmyy，439221myy，（Rm0）431124)(||2221221211mmyyyyyySMNF令12mt，则1tttttSMNF1312131221)1(t，当1t时RSMNF41有最大值3．此时，0m，43maxR故MNF1的内切圆的面积的最大值为169，此时直线l