一轮复习导数与函数的极值、最值

导数与函数的极值、最值1、极大值：函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都大.f′(a)=0yxf′(x)0一、极值的定义我们就说f(a)是函数y=f(x)的一个极大值.点a叫做极大值点．af′(a)=0，且在点x=a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0f′(x)02、极小值：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都小，我们就说f(b)是函数的y=f(x)一个极小值.点b叫做极小值点．f′(b)=0，且在点x=b附近的左侧右侧f′(x)0f′(b)=0f′(x)0xybf′(x)0f′(x)0，极小值点、极大值点统称为极值点极小值、极大值统称为极值极值反映了函数在某一点附近的大小情况(2)求函数极值的步骤：①求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查方程根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取_______，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取_________．极大值极小值问题：1、极大值一定大于极小值吗？2、导数值为0的点一定是函数的极值点吗?3、若f(x)在（a,b）内有极值，那么f(x)在(a,b)内是单调函数吗？ybxx1Ox2x3x4x5x6)(xfyx0a问题：1、极大值一定大于极小值吗？2、导数值为0的点一定是函数的极值点吗?3、若f(x)在（a,b）内有极值，那么f(x)在(a,b)内是单调函数吗？f′(x0)=0是x0为极值点的必要而不充分条件。高三（8）班高考数学第一轮复习问题：1、极大值一定大于极小值吗？2、导数值为0的点一定是函数的极值点吗?3、若f(x)在（a,b）内有极值，那么f(x)在(a,b)内是单调函数吗？考点1根据函数的图像判断函数极值的情况根据函数图像判断极值的解题思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点左、右两侧的导数符号，导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图像与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.1．函数f(x)＝2x3－6x＋7的极大值为()A．1B．－1C．3D．11答案：D4．f(x)＝x(x－b)2在x＝2处有极大值，则常数b的值为_____．答案：6例1、设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)D考点2利用导数求函数的极值运用导数求可导函数y＝f(x)极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；(3)用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小区间，列表；(4)由f′(x)在各个区间内的符号，判断函数的极值情况:如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．例2、求函数的极值.()(1)lnafxxaxx考点3已知极值求参数已知函数f(x)的极值求参数的值或取值范围的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(2)用极值判断方程f′(x)＝0的根的情况；(3)根据方程f′(x)＝0的根的情况得到关于参数的方程（不等式）；例3、（1）已知函数若x=-3是函数f(x)的一个极值点，则a的值为______;（2）已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0，则m+n=_____.1132()39fxxaxx5例4、(1)已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,0)B.(0,1/2)C.(0,1)D.(0,+∞)B（2017皖南八校联考）已知函数f(x)=x(lnx+mx)-m没有极值点，则实数a的取值范围是_______.(-∞,-1/2]例4、(2)已知x∈R,若在（0,1）上有且只有一个极值点，则a的取值范围是（）A.（0，+∞）B.（-∞，1]C.(1,+∞)D.(-∞,0]()()xafxxexA函数的最大值与最小值在闭区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(x)在[a，b]上求最大值与最小值的步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的______；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是________，最小的一个是_________．极值最大值最小值2.函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值、最小值分别是()A．1，－1B．1，－17C．3，－17D．9，－19答案：C例6、已知函数(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[0,1]上的最小值.()()xfxxke