第三章鞅与停时

第三章鞅与停时3.1停时(可选时)设为基本概率空间，参数集T或为),,(PFΩ),0[∞=+R或为，令为一簇上升的{}L2,1,0=+ZTtt∈,Fσ-域，即对一切FFF⊂⊂∈tstsTts,,,。定义3.1.1：取值于{}∞+=++URR或{}∞+=++UZZ上的随机变量τ称为(相对于σ-域)停时(可选时)(stoppingtimeoroptionaltime)，如果对每个tF{}{}tttwwRtF∈≤=≤∈+ττ)(:,(或者对每个{}nnZnF∈≤∈+τ,)。对于离散时间的停时有另外一个刻划：τ为停时若对每个{}nnZnF∈=∈+τ,。以τ表示某个随机现象发生的时刻，事件{}t≤τ表示该随机现象在以前已经发生，表示到时刻所已知的信息，若ttFtτ为停时，即{}ttF∈≤τ，表明该随机现象(相对于σ-域)是“可观察”的。tF例3.1.1：某人在赌博时决定当胜局累计100次时停止赌博，停止赌博的时刻τ是一个随机时间，是赌到第局时赌博者所能掌握的信息，nFn{}n=τ依赖于前局的结果，故n{}nnF∈=τ，τ为停时。例3.1.2：设随机过程样本路径连续，TttX∈),():)((tssXt≤=σF，。设为闭集，令Itsst+=FFA{AtXTtA∈∈=)(minτ}(约定空集时为∞+)，表示过程首次进入A的时刻，Aτ称为首中时(hittingtime)，则Aτ对于σ-域是停时；若为开集，首中时tFA{AtXTtA∈∈=)(infτ}(约定空集时为∞+)，对于σ-域不是停时，但对于tFσ-域是停时；令+tFτ表示过程最后离开A的时刻，则τ不是停时。1Dynkin“randomtimeindependentofthefuture”性质：1.常值时间c为停时，此外若τ为停时，为常数，则0≥cc+τ为停时；2.设21,ττ为停时，则()2121,minττττ=∧，()2121,maxττττ=∨为停时；3.设21,ττ为停时，则21ττ+为停时；4.设LL≤≤≤≤nτττ21为停时，则nnττ∞→=lim为停时。定义3.1.2：停时τ的τ前事件σ-域定义为τF{}{}TttAAtτ∈∈≤∈=,FFFτI：。τF直观上的含义：若随机事件在时间Aτ前就知道是否发生，现在到了时间t，若t≤τ，则当然应该知道随机事件是否发生。A定理3.1.1：τ是可测的，且在τF{}t=τ上，tτFF=。定理3.1.2：设τσ,为停时，则{}τAAFF∈≤⇒∈τσσI，从而若τσ≤则。τFF⊂σ3.2离散指标鞅设为概率空间，{为一列单调增的子),,(PFΩ}nFσ-域(代数)，即，随机变量序列称为对于{是适应的(adapted)，若对任意，1+⊂nnFF{nX}}nFnnnXF⊂)(σ，即是可测的。对于随机变量序列nXnF{}nX，总可以找到与之适应的单调增的一列σ-域，此nFσ-域称为一个“筛选”(filtration)。例如取nF),,(10nnXXXLσ=F。若对于单调增的是适应的，我们用偶序对表示。称{对于{是可预料的(predictable)，若对任意n，是可测的。nXnF),(nnXF}}nX}nFnX1−nF定义3.2.1：适应随机过程{，称为是鞅(martingale)，如果对任意，0,,≥nXnnFn2∞nXE且()nnnXXE=+F1。若()nnnXXE≥+F1，则称为下鞅(sub-martingale)；若()nnnXXE≤+F1，则称为上鞅(super-martingale)。显然，为鞅当且仅当它既是下鞅又是上鞅；若为下鞅等价于为上鞅。nXnXnX−例3.2.1：设为任随机变量，L,,10YYX为随机变量且∞XE。令),(0nnYYLσ=F，()()nnnXEYYXEXF==L,0，则相对于为鞅。nXnF基本性质：1)，{为鞅，则对任意常数，{}nnXF,}nnYF,ba,{}nnnbYaXF,+为鞅;2)为鞅，则对任意{nnXF,}nm≤，()mmnXXE=+F1；3)为鞅，则对任意，{nnXF,}n0EXEXn=；4)若为鞅，且对任意n，，则对任意，{nnXF,}∞2nEXnml≤≤()0=−lmnXXXE；此外对任意nm≤，()()222)(mmnmmnXFXEXXE−=−F。定理3.2.1：Doob-Meyer下鞅分解定理(sub-martingaledecompositiontheorem)设{是下鞅，则可以唯一分解为}0,,≥nXnnFnXnnnAMX+=，其中为鞅，是可预料的增过程()。nMnA00=A证明：令()011≥−=−−nnnnXFXEa，令00=A，为可测的，故是可预料的增过程。令∑==nkknaA11−nFnAnnnAXM−=，易证是鞅。往证分解唯一性。若，则nMnnnnnAMAMX′+′=+=nnnnAAMM−′=′−。一方面为鞅，故nnMM′−()111−−−′−=′−nnnnnMMMMEF，令一方面nnnnAAMM−′=′−为可测，故1−nF()nnnnnMMMME′−=′−−1F，因此30000011=−′=′−==′−=′−−−AAMMMMMMnnnnL。3.3.Doob可选定理及鞅的收敛设τ为取非负整数值的停时，令，称为随机过程在⎩⎨⎧≥==nXnXXXτnnτnτττ,,),min(nXτ处停止过程。引理3.3.1：设{是鞅，则}nnXF,{}nτnXF,也是鞅。定理3.3.1：Doob可选停止定理(optionalstoppingtheorem)设{}nnXF,是鞅，若..saστ≤为两个有界停时，则()ττσXXE=F。证明：由于..saστ≤为有界停时，设一个上界为K。(){}{}(){}(){}(){}σσσσσσσσσXXIXEIIXEIXEIXEXEKiiiKiiKiKiiiKKiiKKiiKK=====⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑∑∑∑==========11111FFFFF同理()ττKXXE=F。注意到。故σFF⊂τ()()()()ττKτKτXXEXEEXE===FFFFσσ。一般来说，停时有界的条件是不可缺少的。但如果{}nX一致可积，则对任何两个停时..saστ≤，都有()ττXXE=Fσ。定理3.3.2：(Dooboptionalsamplingtheorem)设{}nnXF,是鞅，为非降有界停时，则LL≤≤≤≤nttt21{}nnttXF,是鞅。(称为optionalsamplingprocess)ntX给定区间，序列上穿区间的次数记为。若为随机序列，则也是随机变量。],[ba),(1nXXXLr=],[ba)(],[nbaN),(1nXXXLr=)(],[nbaN引理3.3.1：Doob上穿不等式(up-crossinginequality)设为{}nnXF,下鞅，则4abaXEaXEXENnnba−−−−≤++)()()(1)(],[r定理3.3.3：Doob下鞅收敛定理设{}nnXF,下鞅且∞nnXEsup，则存在几乎处处有限的随机变量记为，使得∞X1)lim(==∞∞→XXPnn。从而若{}nnXF,为非负鞅，则以概率1的有存在且有限。nnX∞→lim例3.3.1：(赌徒输光问题)一个赌徒参加公平的赌博，即若是赌徒在n局之后的赌金，)nX,,(10nnXXXLσ=F为赌徒在局后所掌握的信息，则{是鞅。现假设不能赊钱，且每一局至少赢或输1元。令n}nnXF,{}1:min+==nnXXnN，表示赌徒被强迫退出时已赌的局数。由于{}nnXF,为非负鞅，由收敛定理，以概率1的有存在且有限。又由于若，则nnX∞→limnN11≥−+nnXX，因此。也就是以概率1赌徒最终要输光。1)(=∞NP3.4连续指标鞅设为概率空间，),,(PFΩ{}tF为一族单调增的子σ-代数，即若，则；对任意t，为可测的，则称随机过程对于{是适应的(adapted)。tstsFF⊂)(tXtF)(tX}tF定义3.4.1：随机过程称为鞅，若对任意，{0,),(≥ttXtF}t∞)(tXE，且对任意，ts())()(sXtXEs=F。在一定条件下，前面离散指标鞅的一些定理可以平移到连续指标鞅的情形。5