离散鞅论及应用

离散鞅论及应用一、基础定义设(,,)PF为概率空间，整数集合{,1,0,1,}Q，I表示Q的一个“区间”，指Q的不间断子集，比如：{1,2,,}In，{1,2,3,}I等。定义1：设,nnIF为单调上升（或下降），指nmFF，,,nmInm（或nmFF）。设,nZnI为随机变量序列，若nZ关于nF可测，nI，称,,nnZnIF为适可测随机变量。定义2：设,,nnZnIF为适可测随机变量，若下两条满足：1.()nEZ，2.(|),,,nmmEZZnmnmIF。则称,,nnZnIF为一个鞅。若2改写成(|)()nmmmEZZZF，称,,nnZnIF为下鞅（上鞅），合称为半鞅。定义3设,,nnZnIF为适可测随机变量，nF下降，若()nEZ，nI且(|),,,nmmEZZnmnmIF，则称,,nnZnIF为一个反鞅。命题1.对于区间{1,2,,}In,,,nnZnIF为适可测随机变量列，则,,1iiZinF为一个鞅，当且仅当11,,1niniZinF为一个反鞅。定义4设,,nnZnIF为适可测随机变量列，()nEZ，nI，若(|)0,,,nmEZnmnmIF，称,,nnZnIF为一个鞅差。命题2设,1nnF为上升域（列），下两条成立：（1）若,,1nnZnF为一个鞅，则,,1nnXnF为一个鞅差，其中1nnnXZZ（2）若,,1nnXnF为一个鞅差，则,,1nnZnF为一个鞅，其中1nniiZX。简言之，“鞅=鞅差的部分和”。设,,1nnZnF为一个鞅，f为(,)内实值可测函数，问,,1nnfZnF是否是鞅？首先，nfZ关于nF可测，理由：nZ关于nF可测，假定nEfZ，1n，其次，|nnEfZF和nfZ的关系？若f为凸函数，由条件Jensen不等式，1|(|)()nnnnnEfZfEZfZFF表明,,1nnfZnF为一个下鞅。命题3设,,1nnZnF为适可测随机变量列，f为(,)上凸函数，且nEfZ，1n，则下两条成立：1若,,1nnZnF为鞅，则,,1nnfZnF为下鞅。2若,,1nnZnF为下鞅，f为单调不减，则,,1nnfZnF为下鞅。有意思的推论：若,,1nnZnF为下鞅，则max(,0),,1nnnZZnF为下鞅；若,,1nnZnF为鞅，则,,1PnnZnF为下鞅（1P，假定,1PnEZn）。二、鞅的停时定理关于停时，设,1nnF为上升域列，为取值正整数的随机变量，若对每1n，均有nnF，称为关于,1nnF的停时。命题4如果T和S是两个停时，则TS，min(,)TS，max(,)TS也是停时。要证明上述命题，需要下面的引理：引理1设T为任意的取值于{0,1,2,,}的随机变量，下属三者等价：（1）01{}(,,,)nTnXXX；（2）01{}(,,,)nTnXXX；（3）01{}(,,,)nTnXXX。命题5设01,,MM是一列关于01,,XX的鞅，T是一个关于01,,XX的停时，并且T有界，TK，01(,,,)nnXXXF，则00(|)TEMMF，特别地0()()TEMEM。这个命题是鞅停时定理的一个特殊情况，可以看出，它的条件太强了，实际上我们感兴趣的问题中许多都不满足T有界这一严格的条件。假设T是一停时并且{}1PT，也就是说以概率1，可以保证会停止（相对于{}0PT），但与T有界不同的是，并没有确定的K使{}1PTK。在这种情况下，何时可以得到0()()TEMEM的结论呢？考虑停时min{,}nTTn注意到{}{}nTTTTnnTnMMMIMI，从而{}{}()()nTTTTnnTnEMEMEMIEMI。可以看出，nT是一个有界停时（nTn），由上面命题可知0()()nTEMEM。我们希望当n时，后面两项趋于0，对于第二项来说，这是不困难的，因为{}1PT，当n，{}0PTn，{}()TTnEMI相当于对TM限制在一个趋于空集的集合上取期望。容易看出，若要求()TEM，就可以保证{}()0TTnEMI。第三项就更麻烦一些，当n时，第三项并不趋于0。然而如果nM和T满足条件{}lim()0nTnnEMI。我们就可以得出结论0()()TEMEM。定理1鞅停时定理设012,,MMM是一关于01(,,,)nnXXXF的鞅，T是停时满足：（1）{}1PT；（2）()TEM；（3）{}lim()0nTnnEMI。则有0()()TEMEM。定理2设{,0}nMMn是关于{,0}nXXn的上鞅，T是关于X的停时，min{,}nTTn，设存在一非负随机变量W，满足()EW，且使得,0nTXWn，则有0{}()TTEXEXI。特别地，若{}1PT，则有0TEXEX。推论1设{,0}nMMn是关于{,0}nXXn的上鞅，T是关于X的停时，且0nM，则有0{}()TTEXEXI。我们已经知道对于上鞅，有0,0nEMEMn，此处上鞅停止定理说明档把n换为停时T时，在附加某些条件前提下，结论也成立。三、一个应用——关于期权值的界设某种股票的每股上市价0Ww，以nW表示第n天的开盘价，令1nnnWYW，1n，则有12,1nnWwYYYn。考虑一种期权，它保证期权持有人可以在一限定的期限内，以预定的价格购入股票。不妨设这一预定的行使期权的价位为1，并假设我们考虑的期权行使期限为无限。若1nW，则期权持有人有可能在第n天行使期权，以价位1购入股票，立即以nW价位抛出，从而获利1nW；若1nW则无法获利。由此，期权持有人在第n天的潜在利润为11()101nnnnnWWr，1n设贴现率为0a，将()nrW贴现到第1天为()nanerW，可任取一停时T作为行使期权的时刻，我们要寻找()nanerW的期望的值的上界，即这一期权最高多次潜在利润为多少。为此要对nY作出一个假设，假定存在1使得011(|,,,),1annEYYYYen（1）称,sup(())aTTTfwEerW为初始每股价格为w的期权值。（1）式中的上确界是对一切关于Y的停时T取的。因为Y满足（1）式，所以该期权值,fw与（1）式中的参数有关。定理3设Y为以上定义并满足（1）式，0Ww，则期权值,fw满足下述不等式,,fwgw。其中1(1),1,1,1wwg若若（2）证明：证明分为四部分，略。注1：对任意固定1t，定义1(1)(,),0tttwtvwtwt，则有(,)(,),1,0vwtgwtw（3）则有1(1),(,)wgwvw，0w若初始每股价格w超过1，则期权的平均潜在利润至多为,1gww。这一值可通过即刻行使期权获得（取0T）。这表示，一旦单股股票的价格超过1，期权持有人就应马上行使他的期权，以期获得最大限度的潜在利润。注2：这个定理是以（1）式作前提的，如果对这个假设存在怀疑，这定理就不适用，但一般来说这一假设是合理的，至于的选取，可以根据以往的经验或者同级方法获得。