离散鞅

2020/4/191离散鞅引论以条件数学期望来定义2020/4/192.,0,)1(,)1(.,..}0,){)((),(10nkknnnnYXXqYPpYPdiinYqp且满足模型或竞赛简单赌博随机游动例：质点简单1011011101101(|,,,)(|,,,)()1(),2(|,,,);{,0}.,(|,,,).nnnnnnnnnnnnnnnnEXXXXEXYXXXXEYXpqpqEXXXXXXnXnpqEXXXXX若即甲乙竞赛是在条件下则表明是鞅，是公平赌博次的资金若则公平2020/4/1932020/4/1942020/4/1952020/4/1962020/4/197((),),()0TffiiSIPffP记上式可表为：即是的特征值为1的特征向量.2020/4/1982020/4/199()().()0ijjSfipfjiSIPf即2020/4/1910指数鞅2020/4/19112020/4/1912.,,)(),,,|(101则为下鞅若则为上鞅；若qpqpqpXXXXXEnnn在前面的随机游动模型中，2020/4/19132020/4/1914Zn是单调不减函数分解定理2020/4/1915.?,1)(.,.0EXEXTPvrTT问为取值非负整数的设改写下标要注意是否处处有定义.0EXEXT事实上，一般0011110inf{:0,1}()1,{,0},0{1}{1,}(1)1{1,}{1}1.nnnkTkTkkkTkTTnnXpqPTETXnEXEXXXTkPXfXTkXEXEX是鞅其中，利用到了转换：2020/4/1916).0,(}{.,,.}1,11,1,0{}{.}0,{}1,1:min{),(0)()1,11,1,0()(00nkXnTnXXIIIXnlXXnTnXXnnTqpknnTXnlXXnTnlnnnl时刻的轨道有关只与前的函数是即＝是停时关于随机游动为例，以＝停时定理2020/4/19172020/4/1918鞅收敛定理2020/4/1919()()||((,))():{}..(,),{,0}(,).nnnnkEXaEVabbaXabVabnXknab离散其中为下鞅为直到时上穿的次数Doob上穿不等式2020/4/1920.{}.sup||.().nnnasnXEXXXXn4.4.1为下鞅则,使得定理22sup.{}..lim()0.nnnnnEXXXEXX4.4.3若鞅则定理.||.{}.(1).(2)lim||0.nnasnnnEXCXXXXEXX4.4.2若鞅则,使得定理2020/4/1921连续鞅停时定理2020/4/1922(){(),0}(1)()((0))(2)()1;|()|;lim|()|0.()((0))ttXttEXEXPEXEXIEXEX鞅,是停时.若有界,则.若则.定理2020/4/19231()1()1{(),0}()().(){}...().()...()()().()()[(())]{(),0}inf{:0,()0NtiiiirYrRtRttRtxktCtCtYYiidBtYbtpdfYtekrEeXtYtEYtXttttRt已知为风险过程其中，记为的分布为,是鞅.例:精算风险分析}.是停时此定理方便计算风险分析中的破产概率.