倒立摆模型推导

倒立摆系统模型研究控制系统的数学模型是描述系统内部物理量或变量之间关系的数学表达式。在静态条件下(即变量各阶导数为零)，描述变量之间关系的代数方程称为静态数学模型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程称为动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，则可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。因此，建立控制系统的数学模型是进行控制系统分析和设计的首要工作。系统建模可以分为两种方式：实验建模和机理建模。实验建模是通过在研究对象上加入各种由研究者事先确定的输入信号，激励研究对象，并通过传感器检测其可观测的输出，应用系统辩识的手法分析输入-输出关系，建立适当的数学模型逼近实际系统。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统的运动方程。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难，故而选用机理建模的方法。为了在数学上推导和分析的方便，可作出如下假设：1)摆杆在运动中是不变形的刚体；2)齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象；3)各种摩擦系数固定不变；4)忽略空气阻力；在忽略掉这些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。本文采用分析力学Lagrange方程建立一、二级倒立摆的数学模型。Lagrange方程有如下特点：1)它是以广义坐标表达任意完整系统的运动方程式，方程的数目和系统的自由度数是一致的。2)理想的约束反力不出现在方程组中，因此在建立系统的运动方程时，只需分析已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。3)Lagrange方程是以能量的观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方程式，只需从两个方面进行分析，一个是表征系统运动的动力学能量——系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量——广义力。因此，用Lagrange建模可以大大简化系统的建模过程。采用拉格朗日的方法建立系统的数学模型。Lagrange算子可以描述如下：(,)(,)()LqqTqqVq(1.1)其中：T：系统的动能V：系统的势能q：系统的广义坐标则系统的动力学方程可用Lagrange算子描述如下：dLLDUdtqqq(1.2)Lagrange方程可以简单的理解为系统的能量的变化随着系统外加作用力的变化而变化。1.1一级倒立摆系统1.1.1拉格朗日方法建立一级倒立摆系统的数学模型可以将一级倒立摆系统抽象成小车和质量均匀的摆杆组成，小车以向左方向运动为正，摆杆角度以自然下垂位置为零点，逆时针为正，如图2.1所示。图2.1一级倒立摆示意图各参数的物理意义及取值如表2.1：表2.1倒立摆物理参数符号意义及取值符号物理意义取值及单位M小车质量1.096kgm摆杆质量0.109kgc0小车摩擦系数0.1Nm-1sec-1c1摆杆摩擦系数0.0022Nm-1sec-1l摆杆转动轴心到质心的长度0.25mJ摆杆惯量0.0034kgm2u控制力Nx小车位移m小车速度msec-1摆杆角度rad摆杆角速度radsec-1首先计算小车的动能(MT)、摆杆的动能(mT)和系统的总动能(T)：x22221211(sin)(cos)22MmMmTMxdxldlTJmdtdtTTT(1.3)不妨假定导轨所在的水平面势能为零，在一级倒立摆的运动过程中，小车的势能始终为零，系统的总势能为：(cos)Vmgl(1.4)小车与导轨之间的摩擦力和摆杆与小车之间的摩擦力，使得系统能量的损失分别为：2102211212DcxDc(1.5)则系统总共损失的能量为：(1.6)取系统的广义坐标系为：x、，则拉格朗日算子为：LTV(1.7)则系统的拉格朗日方程可以表示为：0dLLDudtxxxdLLDdt(1.8)借助Mathemetica软件，由以上方程组可以得到一级倒立摆系统的动力学方程，具体的推导过程可以参看附录一。021cossincossin0MmmlxxucmlmlmlJmglc(1.9)1.1.2一级倒立摆系统在倒立点附近线性化处理现行的许多一级倒立摆稳摆控制[39]需要将倒立摆在倒立点附近做近似线性化处理。首先由式(2.9)可得：221022222012222cos(sin)()(sin)()()coscos()(cos()sincossin)()()cosmlmglcJmlucxmlxMmJmlmlmlcxMmcmluMmgmlMmJmlml(1.10)12DDD在倒立点附近，摆杆角度接近为零，角速度也较小，可以认为：2sin0,sin,cos1(1.11)将式(2.11)代入式(2.10)，可得2222012012()()()()()()JmlcxmlgJmlucmlxMmJMmlmlcxumlMmmglMmcMmJMml(1.12)令：TXxx(1.13)将2.12写成矩阵形式，可以得到一级倒立摆在倒立点附近线性化模型的状态空间方程，如下：XAXBuYCXDu(1.14)其中：22201222012220100()0()()()0001()()0()()()JmlccmlmlgMmJMmlMmJMmlMmJMmlAmlcMmcMmmglMmJMmlMmJMmlMmJMml2220()0()JmlMmJMmlBmlMmJMml10000010C00D1.2二级倒立摆系统1.2.1拉格朗日方法建立二级倒立摆系统的数学模型将二级倒立摆系统抽象成小车和质量均匀的内、外摆杆组成，小车以向左方向运动为正，摆杆角度以自然下垂位置为零点，逆时针为正，如图2.2所示。各参数的物理意义及取值如表2.2所示。图2.2二级倒立摆示意图表2.2倒立摆物理参数符号意义及取值符号物理意义取值及单位M小车质量1.32kgm1内杆质量0.04kgm2外杆质量0.132kgm3质量块质量0.208kgc0小车摩擦系数0.1N/m/secc1内杆-小车摩擦系数0N/m/secc2内-外杆摩擦系数0N/m/secl1内杆转动轴心到质心的长度0.09mL1内杆长度0.18ml2外杆转动轴心到质心的长度0.27mJ1内杆惯量0.000108kg*m2J2外杆惯量0.0034kg*m2u控制力Nx小车位移m小车速度m/secα内杆角度rad内杆角速度rad/secβ外杆角度rad外杆角速度rad/sec首先计算小车的动能(MT)和内、外摆杆的动能(1mT、2mT)以及质量块的动能3mTx222211111222121222221123312(sin)(cos)1122(sinsin)(cos)1122(sin)(coscos)12MmmmTMxdxldlTJmdtdtdxLldLTJmdtdtdxLdLlTmdtdt(1.15)则总动能为：123MmmmTTTTT(1.16)不妨假定导轨所在的水平面势能为零，在二级倒立摆的运动过程中，小车的势能始终为零，可以计算内外杆、质量块势能分别为：111222333mmmVmgYVmgYVmgY(1.17)则总势能为：(1.18)小车-导轨、内杆-小车、外杆-内杆之间的摩擦力，使得系统能量的损失分别为：20021122212121()2DcxDcDc(1.19)故系统总共损失的能量为：123DDDD(1.20)取系统的广义坐标系为：x、、，则则拉格朗日算子为：LTV系统的拉格朗日方程可以表示为：123mmmVVVV00dLLDudtxxxdLLDdtdLLDdt(1.21)借助mathemetica软件，由以上方程组可以得到二级倒立摆系统的动力学方程，具体的推导过程可以参看附录二。()(,)()MqCqqFq(1.22)其中：Tqx1.2.2二级倒立摆系统在倒立点附近线性化处理实现二级倒立摆稳摆控制的LQR[40]方法，需要对系统模型做线性化处理，在倒立点附近近似为线性时不变系统。在本文所规定的符号与方向的情况下，线性化结果如下：在倒立点附近存在：0,sin,cos1,0,sin,cos1,cos()1(1.23)将式(2.23)代入式(2.22)，二级倒立摆系统动力学方程可以近似为：ˆˆˆ()(,)()MqCqqFq(1.24)其中：1231123222221123111232222222222()ˆ()MmmmmlmLmLmlMmlmLmLJmlmLmLmlLmlmlLJml1231123222221123111232222222222()coscos()()coscos()coscos()MmmmmlmLmLmlMqmlmLmLJmlmLmLmlLmlmlLJml0112322122222222()sinsin(,)0sin()0sin()cmlmLmLmlCqqccmlLcmlLcc112322()()sinsinuFqmlmLmLgmgl01222200ˆ00cCccccc112322000ˆ0()000GmlmLmLgmgl1ˆˆˆqMFuCqGq可以发现式(2.24)是二级倒立摆在倒立点附近线性化处理后的系统方程，若令：1212TXxx(1.25)1212TXxx(1.26)则可以得到二级倒立摆在倒立点附近线性化模型的状态空间方程：3311100ˆˆˆˆˆIXXuMFMGMC(1.27)1.3倒立摆微分方程数值解法对倒立摆系统的仿真分析，实质上是对系统数学模型求数值解的过程。对于这样的常微分方程数值解法按照求解步数可以分为单步法和多步法，单步法的代表是Runge-Kutta法，多步法的代表是Adms法；按照求解步长可以分为固定步和变步长的求解方式；按照求解精度可以将求解方法归为2阶、3阶、4阶等。下面不加推导的给出4阶经典Runge-Kutta法的计算格式和Adms可变步长的4阶预测校正法的计算流程。已知微分方程初值条件，若x在区间[a，b]取(N+1)个等距节点，求对应的y的近似值。(,),,()yfxyaxbya(1.28)对于这样一个常微分方程的数值解问题，取步长h=(b-a)/N，4阶经典Runge-Kutta法求解格式如下[41]：112341212233(22)6,,22,22,iiiiiiiiiihyyKKKKKfxyhhKfxyKhhKfxyKKfxhyhK