小车-倒立摆系统数学模型

273小车－倒立摆系统数学模型张丽娟涂亚庆王保中后勤工程学院信息工程系，重庆[e-mail]摘要从刚体运动学角度分析了小车－单级、二级和三级倒立摆系统的运动，并利用有关动力学基础和拉格朗日方程，运用状态空间法对各级倒立摆系统进行数学模型的建立．小车－倒立摆系统数学模型的建立对倒立摆和其它类似非线性系统稳定性的研究具有理论指导作用。关键词倒立摆建模拉格朗日方程状态空间MathematicalModelofCartInvertedPendulumSystemZhangLijuanTuYaqingWangBaozhongDepartmentofInformationEngineering,LogisticalEngineeringUniversity,[e-mail]alyzedthemovementofcartinvertedpendulumfromtheviewofkinematics,andsetthemathematicalmodelsofthecartinvertedpendulumusingdynamicsknowledge,Langrageequationandthestatespacemethod.Themodelingofthecartinvertedpendulumhasthetheoreticalinstructionaleffectinothersimilarnonlinearitysystemsfield.KeywordsinvertedpendulummodelingLangrageequationstatespace1研究现状倒立摆控制问题公认为控制理论中典型的控制问题。在现实生活中，可以形象的看做是杂技顶杆表演，其物理机制与控制系统的稳定性密切相关．它深刻地揭示了自然界一种基本现象，即一个自然不稳定的被控对象，通过人的直觉的、定性的控制手段．就可以具有良好的稳定性[1]。倒立摆的控制问题的研究和实现不仅有其深刻的理论意义，还有重要的工程背景。因此，倒立摆能够为验证其控制策略和方法的可行性提供有效的装置，以检验控制律实现的有效性和实时性。倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统．在控制过程中能反映控制中的许多关键问题，如镇定问题[2]、非线性问题[3]、鲁捧性问题[4]、随动问题[5]以及跟踪问题[6]等．各国专家学者在这一领域进行了长期不懈的研究和探索。倒立摆的智能控制方法有模糊控制[7]，神经网络控制[1]，云理论[3]，仿人智能控制[1]等等。2小车－倒立摆的物理数学模型建立对于多变量非线性系统，目前还没有一个确定的方法来实现其控制问题，为了减少试验的盲目性，通常先建立系统的数学模型，然后进行仿真试验研究，在此基础上进行实际系统的试验。若用一般的牛顿运动定律来求解，要解算大量的微分方程。在实际问题，当质点存在约束情况时，困难更为显著。本文采用分析力学中的Lagrange方程推导倒立摆274的系统模型。Lagrange方程是以能量观点建立起来的运动方程式。为了列出系统的运动方程式只需从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学—系统动能，另一个是表征主动力作用的动力学量—广义力。因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。2.1小车－单级倒立摆的物理模型和数学建模2.1.1小车－一级摆物理模型单级倒立摆由摆杆、小车、皮带，电机、滑轨组成。长度为L，质量为m的单摆用铰链固定在质量为M的小车上，通过铰链可以在一个平面内自由摆动，小车受电机的操纵。电机通过皮带拖动小车在轨道上左右运动，以保持摆杆不倒。规定外作用u向右为正，摆杆向右偏为正。对一级倒立摆的物理模型进行分析如下：如果0u，小车向右加速运动，当0θ时，摆杆将回到竖直位置，然后向左加速倒下；当0θ或0θ=时，摆杆将向左加速倒下。如果0u=，当0θ时由于摆杆重力矩的作用，摆杆将进一步向右加速倒下，小车向左运动；当0θ时，由于摆杆重力矩的作用，摆杆将进一步向左加速倒下，小车向右运动；0θ=，暂时维持平衡状态。如果0u,小车向左加速运动，当0θ时，摆杆将回到竖直位置，然后向右加速倒下；当0θ或0θ=时，摆杆将向右加速倒下。2.1.2小车－一级倒立摆数学模型小车和摆体的动能,势能和耗散能为：1111cosVMglθ=211112DFθ•=01111cosVVVMglθ=+=22101101122DDDFrFθ••=+=+iqr=()10111101111coscosTMrMrlMMrMlrθθθθ••••••∂⎛⎞=++⋅=++⋅⎜⎟⎝⎠∂()()2221111111111sincos22tddTJMrlldtdθθθ•⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭＝＋＋2012TMr•＝00V＝20012DFr•＝2752.2小车－二级倒立摆的物理模型和数学建模2.2.1小车－二级倒立摆物理模型可以将二级倒立摆分解为两个单级倒立摆模型，即将下摆和小车看做一个整体，以2o为001111101112111111111111cossincossin0GUMMMlrrFMlMlJMlMglFθθθθθθθ•••••••⎡⎤⎡⎤⎛⎞+⎡⎤⎛⎞−⋅⎢⎥⎢⎥⎜⎟+=⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎢⎥+⎝⎠⎣⎦⎝⎠⎣⎦⎣⎦()210111111sincosdTMMrMldtrθθθθ•••⎛⎞∂⎛⎞=++−⋅+⋅⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∂⎝⎠0Tr∂=∂0Vr∂=∂0DFrr••∂=∂1iqθ=2222111111111111coscossinTJMrlllθθθθθθθ•••••∂⎛⎞=++⋅+⋅⎜⎟⎝⎠∂1111111111cossindTJMlrrldtθθθθθθ•••••••••⎛⎞∂⎛⎞⎜⎟=+−⋅+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∂⎝⎠11111sinTMlrθθθ••∂=−⋅∂1111sinVMglθθ∂=−∂111DFθθ••∂=∂276支点，整个系统可以被看作是一级倒立摆模型，这里上摆的控制力是由作用在小车上的控制力通过下摆传递给上摆的。2.2.2小车－二级倒立摆数学模型小车和二级摆体的动能、势能和耗散能分别为：2M是上摆的质量；2l是上摆的质心到对应转轴的距离；2J为上摆的转动惯量；2L是上摆的摆长；2F为摩擦系数；g为重力加速度；0G为小车驱动系统的增益；U为输入。二级倒立摆的动力学方程为：2.3小车－三级倒立摆的物理模型和数学建模2.3.1小车－三级摆物理模型可以将三级倒立摆分解为两部分，上摆和下摆、中摆、小车，即将下摆中摆和小车看作一个整体，以3o为支点，整个系统可以被看作是一级倒立摆模型。前面对一级摆和二级摆的分析全部适用。2.3.2小车－三级摆数学模型()()22222221122112211sinsincoscos22ddTJMrLlLldtdtθθθθθ•⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤=+++++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭()221122coscosVMgLlθθ=+2212212DFθθ••⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠()()22220121111111111sincos222tddTTTTMrJMrlldtdθθθ••⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤=++=+++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭＋()()2222221122112211sinsincoscos22ddJMrLlLldtdtθθθθθ•⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤++++++⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭()01211121122coscoscosVVVVMglMgLlθθθ=++=++2221210121220111222DDDDFrFFLθθθ••••⎛⎞=++=++−⎜⎟⎝⎠()()121112121222,,,,,,rrMNGUθθθθθθθθθθθθ•••••••••••⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎞+=⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦277小车和各级倒立摆的动能、势能和耗散三级倒立摆的动力学方程为：3结束语本文简单介绍了倒立摆的研究现状及研究意义。采用分析力学中的Lagrange方程推导了单级、二级、三级倒立摆的数学模型,建立了各级摆的空间状态方程。在此基础上可以进一步将所得到的各级倒立摆的数学模型在平衡点附近线性化。针对其线性化模型，结合仿人智能控制理论设计出相应的仿人智能控制器。根据等效小车理论，理论上可以得到N级倒立摆的可控矩阵，计算出N级倒立摆的空间状态方程。从而建立N级倒立摆的数学模型，进行四级和四级以上的倒立摆研究。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，而且还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学有机的结合起来，在倒立摆中进行综合应用。机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世来，已有二十多年的历史，但是机器人关键技术仍未很好解决。所以倒立摆机理研究具有重要价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。参考文献[1]涂亚庆，李祖枢。仿人智能控制。国防工业出版社。2003[2]谭智。三关节单杠体操机器人的摆起倒立控制。重庆：重庆大学。2004[3]张飞舟，陈伟基，沈承智。拟人智能控制三级倒立摆机理研究。北京：北京航天航空大学学报。25(2):347-351,1999[4]宋军烈，肖军，徐心和。倒立摆系统的Lagrange建模与模糊控制。东北大学学报。23(4):33－37,2002[5]王育新。小车—二级摆系统摆起倒立控制。重庆：重庆大学。2004.5[6]何彦彦，沈程智。三级倒立摆系统的可控制性与可观性分析。北京：北京航空航天大学学报。22[5]：()22333311223311sinsinsin22dTJMrLLldtθθθθ•⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦()231122331coscoscos2dMLLldtθθθ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦()33112233coscoscosVMgLLlθθθ=++2323312DFθθ••⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎝⎠0123TTTTT=+++0123VVVVV=+++()()112131122322333coscoscosMglMgLMgLMglMglMglθθθ=+++++0123DDDDD=+++222201122133211112222FrFFFθθθθθ••••••⎛⎞⎛⎞=++−+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠()()111212312331232233,,,,,,,,,,rrMNGUθθθθθθθθθθθθθθθθθθ•••••••••••••••⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎞⎢⎥+=⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦278545-549,1999[7]张飞舟。拟人控制倒立摆系统的性能分析与测试。北京：北京航空航天大学自动控制系。1997作者简介张丽娟（1981－），女，后勤工程学院计算机应用技术专业硕士研究生，研究方向为计算机控制系统与装置。