第一讲DEA模型

1第一讲评价相对有效性的DEA模型——运筹学的新领域1978年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯),W.W.Cooper(库伯),及E.Rhodes(罗兹)首先提出了一个被称为数据包络分析（DataEnvelopmentanalysis,简称DEA模型）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）.他们的第一个模型被命名为C2R模型.从生产函数的角度看,这一模型是用来研究具有多个输入,特别是具有多个输出的“生产部门”同时为“规模有效”与“技术有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,库伯,格拉尼(B.Golany),赛福德(L.Seiford)和斯图茨(J.Stutz)给出另一个模型(称为C2GS2模型),这一模型用来研究生产部门间的“技术有效性”.21987年查恩斯,库伯,魏权龄和黄志明又得到了称为锥比率的数据包络模型——C2WH模型。这一模型可用来处理具有过多的输入及输出的情况,而且锥的选取可以体现决策者的“偏好”.灵活地应用这一模型,可以将C2R模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队.数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域.查恩斯和库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例,就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的效果.在评估中,输出包括“自尊”等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度等,无论哪种指标都有无法与市场价格相比较,也难以轻易定出适当的权重(权系数),这也是DEA的优点之一.DEA的优点吸引众多的应用者,应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行,基地维修与保养,以及陆军征兵,城市,银行3等方面.目前,这一方法应用的领域在不断地扩大.它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性(例如投资项目的评价);研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何(例如建立新厂后,新厂相对于已有的一些工厂是否为有效).DEA是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。为了说明DEA模型的建模思路，我们看下面的例子4例1：某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流动资金x2、职工人数x3）和产出（总产值y1、利税总额y2）的有关数据如下表企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2（万元）1545x3（万元）825y1（万元）602224y2（万元）1268由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加权的办法来综合投入指标值和产出指标值。5对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值4v1+15v2+8v3，其中u1u2v1v2v3分别为产出与投入的权重系数。我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投入的比即vvvuuh32121181541260类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：vvvuuh3212122415622vvvuuh45278243212136我们限定所有的hj值不超过1，即，这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。1maxhj即因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才能求解。vvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh181541260321211vvvuuh7设vvvt32181541vtwutiiii,则此分式规划可化为如下的线性规划1w8w15w4w4w5w27824w2w4w15622w8w15w41260.t.s1260hmax321321213212132121211其对偶问题为128612602422608428155415427154.t.sVmin321321321321321Dvvvuuh32121181541260max12415622321212vvvuuh14527824321213vvvuuh1v8v15v4u12u60h3212118设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重，则第j个企业投入的综合值为，产出的综合值为其生产效率定义为:于是问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和u1,u2，使第j个企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。xvij31iiyurj21rr31iiji21rrjrjxvyuh我们限定所有的hj值(j=1,2,3)不超过1，即maxhj≤1。这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。9根据上述分析，可以建立确定任何一个企业（如第3个企业即丙企业）的相对生产率最优化模型如下：3,2,1i,0,2,1r,03,2,1j,1.t.sHmaxvuhhirj31、评价决策单元技术和规模综合效率的C2R模型设有n个同类型的企业（也称决策单元），对于每个企业都有m种类型的“输入”（表示该单元对“资源”的消耗）以及p种类型的“输出”（表示该单元在消耗了“资源”之后的产出）。这n个企业及其输入-输出关系如下：10……:………:……y1ny2n:ypny1jy2j:ypj……:…y12y22:yp2y11y21:yp1u1u2:up12:p输出x1nx2n:xmnx1jx2j:xmj……:…x12x22:xm2x11x21:xm1v1v2:vm12:m输入nj…21部门指标权数每个决策单元的效率评价指数定义为：m1iijip1rrjrjxvyuhj=1,2,…,n11而第j0个决策单元的相对效率优化评价模型为：上述模型中xij,yrj为已知数（可由历史资料或预测数据得到），vi,ur为变量。模型的含义是以权系数vi,ur为变量，以所有决策单元的效率指标hj为约束，以第j0个决策单元的效率指数为目标。即评价第j0个决策单元的生产效率是否有效，是相对于其他所有决策单元而言的。m1i0ijip1r0rjr0jxvyuhmaxs.t.vi,ur≥0,i=1,2,…,m;r=1,2,…,pn,...,2,1j,1m1iijip1rrjrxvyu（1）12这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此，令m1i0ijixv1tvwiiturrt则模型（1）转化为：p,...,2,1r;m,..2,1i,0,1n,...,2,1j,0.t.swxwxwyyhmaxir0ijm1iip1rm1iijirjrp1r0rjr0j（2）13p,...,2,1r;m,..2,1i,0,1n,...,2,1j,0.t.swxwxwyyhmaxir0ijm1iip1rm1iijirjrp1r0rjr0j（2）写成向量形式有:njXXYtsYhTjTjTTj,...,2,10,010..max00014其对偶问题为：无约束,0p,...,2,1r,m,...,2,1i,.t.sminjn1j0rrjjn1j0iijjDyyxxv（3）写成向量形式有：,0,0,0jn1j0jj0jn1jjssysyxsxs.t.无约束（4）minθ15设问题（4）的最优解为λ*，s*-,s*+,θ*，则有如下结论：（1）若θ*=1，则DMUj0为弱DEA有效（总体）。（2）若θ*=1，且s*-=0,s*+=0，则DMUj0为DEA有效（总体）（3）令0=θ*x0-s*-,0=y0+s*+,则0,0为x0,y0在有效前沿面上的投影，相对于原来的n个DMU是有效（总体）的。xˆyˆxˆyˆ（4）若存在λj*(j=1,2,…,m),使=1成立，则DMUj0为规模效益不变；若不存在λj*(j=1,2,…,m)，使=1成立，则1DMUj0为规模效益递增；若不存在λj*(j=1,2,…,m)，使=1成立，则1DMUj0为规模效益递减。n1j*jn1j*jn1j*jn1j*jn1j*j16有效解的解释：F(X)={f1(X),f2(X),…,fn(X)}如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）≤F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X)1718P63例28以1997年全部独立核算企业为对象,对安徽、江西、湖南和湖北四省进行生产水平的比较。投入要素取固定资产净值年平均余额(亿元),流动资金年平均余额及从业人员(万人),产出要素取总产值(亿元)和利税总额(亿元).安徽江西湖南湖北固定资产932.66583.08936.841306.56流动资金980.45581.64849.311444.30从业人员401.8294.2443.20461.00利税总额179.2949.76144.20181.41总产值2196.09930.221659.042662.21全要素相对生产率(即DEA评价值)1.0000.71400.92851.000排序1321191.建立评价湖南省的DEA模型如下无约束,004.1659s21.266204.165922.93009.219620.144s410.18120.144760.4929.17920.443s000.46120.44320.24980.40131.849s40.144431.84964.58145.98084.936s56.130684.93608.58366.932.t.sVminj2432114321343212432114321D求解结果为:24.107s,0s,17.88s,0s,71.119s,0,8043.0,9285.0213214321调整方案为:输入调整前输入调整后输出调整前输出调整后936.84936.84*0.9285-119.71=750.15144.20144.20849.31849.31*0.9285=788.581659.041659.04+107.24=1766.28443.20443.2*0.9285-88.17=323.34202、具有非阿基米德无穷小的C2R模型在评价决策单元是否为DEA有效时,如果利用原线性规划问题njXXYtsYhTjTjTTj,...,2,10,010..max000需要判断是否存在最优解，满足00,1,0,000000Yhj如果利用对偶线性规划0,,0..min1010SSYSYXSXtsjnjjjnjjj需要判断它的所有最优解都满足1,0,0000SS无论是对于线性规划还是对于对偶规划，这都是不容