机械振动知识总结

1一、单自由度系统的振动一、无阻尼自由振动（谐波振动）方程：2()()0()()0nmxtkxtxtwxt角频率=自然频率=固有频率=nkwm22nmTwk解：1200()cossincossinnnnnnxtAwtAwtvxwtwtw二、有阻尼自由振动方程：2()()()0()2()()0nnmxtcxtkxtxtwxtwxt0与无阻尼相同01时（最常见）：12()(cossin)()cos()nnwtddwtdxteAtAwtxtXewt解：221112()()nnnwtwtwtxteXeXe12=1:()()nwtxtXXte(不是振动)自然频率阻尼率阻尼自然频率12121:()ststxtXeXe(不是振动)nkwm22nccmwmk21dnww0:()xt为增幅运动，是自激振动三、谐波激励下的强迫振动2()2()()cos()()cos()()cos()nnnwtdxtwxtwxtkAxtCwewtAHtwtw方程解：：22222/=arctan1(/)()1/[1()](2)nnnn无阻尼谐振激励02()cos()sin1(/)nnAxtCwtwtww动力系数：2=1/[1(/)]nww=nww：共振，阻尼限制振幅nww:拍阵，振幅忽大忽小有阻尼谐波激励0幅频曲线及其特性222()1/[1()](2)nnwwH2=12rn：共振（求导得）2max()1/21(2/2)rHw准静态区——阻尼区——惯性区相频曲线及其特性22/=arctan1(/)nn准静态区：0低频激励相位差很小/1/2()nww越小倒向越快/1nww：此时力与位移相位相反四、周期性激励下的强迫振动傅里叶级数分析法（谱分析）傅里叶级数：0011()cossinsin()2nnnnnnaftanwtbnwtccnwt/2/2/20/2/2/22200222();()cos;()sin;;;arctan2TTTnnTTTnnnnnnaftdtaftnwtdtbftnwtdtTTTaaccabbT：周期函数将失去周期性，而离散频谱将转化为连续谱，此时傅里叶级数将转化为傅里叶积分。任意周期激励下的稳态强迫振动方程：01()()()sin()nnnmxtcxtkxtccnwt222212/()sin()arctan1(/)[1(/)](2/)nnnnnnnnncwwxtnwtwwk解：特2四、任意激励下的强迫振动1、脉冲响应法（杜哈美积分法）有阻尼()00001()(cossin)()sin()nntttndddddxxxtexttFetdm无阻尼0001()cossin()sin()tnnnnnxxtxttFtdm原理自由振动是强迫振动的基础，任一时刻的强迫振动响应其实只是该时刻前被激起的一系列自由振动的叠加。2、傅里叶变换法方程：2()2()()()nnxtwxtwxtft22()()1()2iwtnnFwftedtH解：1()()()2iwtxtHwFwedw3、拉普拉斯变换法方程：()()()()mxtcxtkxtft()1/()HsDs为传递函数。拉式反变换利用留数定理可求解()Xs大于所有起点的实部拉普拉斯变换：()(0)()(0)()()()FsmxmscxXsDsDs拉氏反变换：11()[()]()2jwstjwxtLXseXsdsj五、单自由度振动知识点1、模型建立牛顿第二定律、定轴转动方程、能量原理、拉格朗日方程2、方程求解一般情况采用解析法求解，对于非线性方程，常采用数值方法求解3、振动系统的线性化振动系统反作用力近似为位移和速度的函数：(,)Nfxx泰勒展开并取前两项得Nkxcx结论：弹簧刚度与阻尼系数实际上是泰勒展开式中的一阶导数的值。4、等效刚度定义：单位位移所需要的力。弹簧串联、并联，关键在于共力还是共位移5、等效质量用积分计算结构运动时的动能，得到某结构的等效质量6、计算wn公式法：/nddwkm；经变形法；能量法：maxmaxTV7、谐波激励稳态振动w不变，响应振幅与激振力振幅正比，φ为滞后激励多少，Ψ初相位8、阻尼微小的阻尼就可以限制振幅的无限扩大9、共振共振需要一个较长的建立过程，机器需有足够的加速功率顺利通过共振区。10、拍阵频率接近共振频率时，系统振幅出现周期性忽大忽小的变化11、动应力将激励力、惯性力幅值（相位差nπ）一起加到振动系统上得最大内力12、频域时域脉冲响应函数法、傅里叶变换法分别通过时域、频域特性函数来求响应六、单自由度系统振动的应用1、自由振动的应用转动惯量的确定物理摆振动法、滚动摆振动法、扭转振动法：均是通过测振动周期来通过公式反推转动惯量。摩擦系数的测定固体摩擦系数：两水平轮相反转动，测其上板子周期得二者系数液体摩擦系数：分别测带弹簧质块在空气、液体中振动周期得测动载系数紧急刹车时钢绳动载系数：v0/wn——刹车时振幅——最大载荷2、强迫振动的应用轴的临界转速临界转速在数值上等于转子不转动而作横向自由振动时的自然频率，（不同概念但数值相同）工程上需迅速通过该临界转速。隔振原理及应用主动隔振（力隔振）：隔绝机器传到地基的力./2nww才有效果：弹簧柔度需大,另外阻尼应减小,但过小时通过共振区时振幅大。被动隔振（运动隔振）：隔绝震源到机器的振动。表示位移传递率的大小，公式与主动隔振相同，/5nww后效果不明显。测振惯性式测振仪：位移计、速度计、加速度计：wn很大，ξ很重要惯性振动筛利用共振使振动筛大幅振动但所受反作用力很小。3二、两自由度系统的振动一、无阻尼自由振动1、振动微分方程11111222212200[][]0mkkMxKxMKmkk2、解法22121/21/2()jwtxtuewMuKuwuMKuwuMKM设、、3、中间结果固有频率2112222111211222112212()-4=2nbmkmkbbacwammckkka、其中：、主振型(1)(2)22122112(1)2(2)21222211222220;0nnAkAkrrAkmwAkmw一阶二阶主振型主振型固有模态1211TTrr一阶固有模态：二阶固有模态：4、通解(1)(2)1111122(1)(2)2211222sin()sin()sin()sin()nnnnxAwtAwtxAwtAwt两质量块的振动响应是由两个主振动迭加而成的。二、简谐激励无阻尼受迫振动1、方程sinTTTMxKxFTwt2、特解（稳态解）2111111222212222sinBFkmwkxBwtBTkkmw其中:3、共振21222222122121111112()()nnFkmwFkBBFkmwFk共振时振幅比○1激振力频率很高时，系统振幅很小○2共振时，振型为主振型，振动为主振动○3二自由度系统有两个共振区三、模态分析法（可求解任意激励）定义：又称振型迭加法，它利用模态矩阵作为变换矩阵，使系统的原方程解耦，得到一组互不耦合的用模态坐标表示的模态方程，解之得模态方程的解，再通过坐标变换得到原系统响应。分析步骤1、求出各阶固有频率wn1、wn2和响应的各阶主振型{u(1)}、{u(2)}，并组成模态矩阵(1)(2)1211uuurr2用模态矩阵对原方程进行变换{x}=[u]{y}，使原方程变为模态方程00MyKyQ3、按单自由度系统解法，求得模态方程的模态解yi=fi(t)4、利用线性变换12()xuyyytyt将模态解（）变换为原坐标解特点对质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]，存在有主振型的正交性，（[M]、[k]需为对称阵时才有）由主振型的正交性可得：由模态矩阵对原方程坐标变换后，可使得[M]、[k]变为对角矩阵[M0]——模态质量矩阵/主质量矩阵；[k0]——模态刚度矩阵/主刚度矩阵；[M0]中M1、M2与[k]中k1、k2分别为第一阶、第二阶模态质量/主质量，模态刚度/主刚度4三、多自由度系统的振动一、用影响系数法建立系统的运动方程1、刚度影响系数法kij:在系统j点产生单位位移，而其余各点的位移均为0时，在系统i点需要的力刚度矩阵方程：111112131222122232333132333000000000mxkkkxmxkkkxmxkkkx特点：不必利用牛二定律列出运动方程，可直接根据定义写出各个刚度影响系数kij，其中kij=kji,然后排列成刚度矩阵[K]——弹簧质量系统最适合用此法2、柔度影响系数法aij:在系统j点作用单位力，而其余各点均无作用力时，在系统i点所产生的位移。10=[]aMxxKa柔度矩阵方程：其中特点：aij=aji;梁类振动系统，柔度影响系数往往比刚度影响系数易于求得二、确定系统固有频率与主振型的近似方法1、矩阵迭代法22[]0//[]=nnkkAuBxAxuwuwBu迭代μ—振型矩阵；[A]—动力矩阵；结果/nddwkm为基频（用柔度矩阵的原因）2、瑞利法222maxmax11111/2/2/nnnniiiiniiiiiiiiUgmyTmywgmymy、特点：1、需假定振型；2、一般仅求基频；3、可按材料力学求静挠度作为振型即可3、邓克莱法2222111221/1/1/1/nnnnkk其中wn1—基频；wn11—仅1时系统基频特点：用于求多圆盘轴固有频率；比真实值略低；将多自由度转化为但自由度问题4、传递矩阵法（链状结构）不含分支扭转振动222111011/11/11/01RRRttnnntiiikkwJwJwJkTTT1111RLLnnnTTTTTTTTTT含分支扭转振动将分支的转矩和转角折算后加入到主支后即可三、多自由度系统的模态分析多自由度系统的广义坐标为：MxKxF1、求取系统固有频率与主振型，得到振型矩阵：(1)(2)()nuuuu2、用振型矩阵[μ]进行坐标变换，[][]MuyyuyxuKF3、方程解耦：用[μ]T左乘上式得到：[][]TTTuMuyuKuyuF4、求的各解耦方程的通解后再用杜哈美积分求得方程的特解5、把模态坐标响应变换为广义坐标响应，即为系统的实际响应方程正则化：()()[]11/TiiiiiNiuMuMuu令2[]NNNNNniNNNNxuyMyKyFFywy令2/1niiiwkk其中上式即为最简单的已解耦的正则坐标运动方程式5四、连续体振动一、弦的振动方程22222222(,)()yyyyTTfxtaatxtx