第五章-用配方法化二次型成标准型

一、拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;ixixkkjijjiiyxyyxyyxjiknk,,,2,1且拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换0ija),(ji化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.解32312123222162252xxxxxxxxxf.,62252323121232221并求所用的变换矩阵为标准形化二次型xxxxxxxxxf例131212122xxxxx322322652xxxx的项配方含有x1含有平方项2321xxx322322652xxxx3223222xxxx去掉配方后多出来的项322322232144xxxxxxx.22322321xxxxx3332232112xyxxyxxxy令3332232112yxyyxyyyx321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf.2221yy所用变换矩阵为.01,100210111CC,33212211yxyyxyyx令解,622323121xxxxxxf代入.842232312221yyyyyyf得.,622323121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型xxxxxxf例2由于所给二次型中无平方项，所以yyyxxx321321100011011即再配方，得.622223232231yyyyyf333223112yzyyzyyz令,233322311zyzzyzzy.622232221zzzf得zzzyyy321321100210101即所用变换矩阵为100210101100011011C.100111311.02C二、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．.,,,323121321变换并写出所作的可逆线性为标准形化二次型xxxxxxxxxf思考题思考题解答故令方项由于所给二次型不含平,解,,,33212211yxyyxyyx,)(2322312yyyyf有,,,,,,33223113322211zyzyzzyyzyzyyz或再令,232221zzzf得标准形.,,3332123211zxzzzxzzzx所用可逆线性变换为