等差数列前N项和的公式

等差数列前n项和公式复习回顾问题呈现例题讲解小结与作业复习回顾(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d已知第m项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq返回泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题呈现问题1下一页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。有无简单的方法？下一页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。下一页探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？12321212019121(121)212s获得算法：下一页问题2一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？问题就是求“1+2+3+4+…+100=？”下一页问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.高斯下一页问题3:求:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12)1(),1(2nnSnnS下一页设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..即Sn=n(a1+an)/2下面将对等差数列的前n项和公式进行推导下一页即前n项的和与首项末项及项数有关若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？因为an=a1+（n-1）d所以Sn=na1+n(n-1)d/2下一页下一页由此得到等差数列的{an}前n项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,,,,51nnSanda正所谓：知三求二下一页【说明】①推导等差数列的前n项和公式的方法叫；②{an}为等差数列，这是一个关于的没有的“”倒序相加法Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意a还可以是0）等差数列前n项和公式补充知识下一页【公式记忆】用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前n项和的两个公式.等差数列的前n项和公式类同于；梯形的面积公式n返回例1．某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500这位运动员7天共跑了多少米？解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为｛an},其中a1=7500,a7=10500.根据等差数列前n项和公式，得77750010500630002()s答：这位长跑运动员7天共跑了63000m.下一页例2等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？本题实质是反用公式，解一个关于n的一元二次函数，注意得到的项数n必须是正整数.下一页解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列的前n项和，则有a1=－10,d=－6－(－10)=4根据等差数列前n项和公式：112()nnnsnad-=+1104542()有成立nnn--+?26270,整理后得nn--=解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.设该数列前n项和为54下一页例3求集合M={m|m=7n,n是正整数,且m100}的元素个数,并求这些元素的和.解:由7n100得n100／7,.7214n由于满足它的正整数n共有14个,∴集合M中的元素共有14个.即7,14,21,…,91,98.这是一个等差数列,各项的和是2)987(1414S答:集合M中的元素共有14个,它们的和为735.=735返回1.推导等差数列前n项和公式的方法小结：2.公式的应用中的数学思想.-------倒序相加法-------方程思想3.公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知其中三个量，可以求其余两个-------知三求二下一页课本P118:习题3.3第七题第九题下一页返回