第3章-时域瞬态响应分析-3.5高阶系统的瞬态响应

《控制工程基础》第3章时域瞬态响应分析3.5高阶系统的瞬态响应3.5.1高阶系统的单位阶跃响应一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统，其传递函数可表示为1111111221111=22mmmmmmmmoqnnrinnijjjijKsbsbsbKsbsbsbXsXssasasaspssmnqrn，输入为单位阶跃时，其响应函数为1112211()()1()()()(2)mmommoqriijjjijXsksbsbsbXsXsssspss如果其极点互不相同，则上式可展开为2022211()1()()(1)qrjjjjjjioijijjjjsXsssps经拉氏反变换，得20112()cos(1)sin1)jjijjqrtptoijjlijrtjjljxteetet可见，一般高阶系统瞬态响应是由若干一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加组成的。当所有极点均具有负实部时，系统稳定。极点的性质决定瞬态分量的类型：●实数极点非周期瞬态分量●共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。类似于低阶系统，高阶系统的极点的位置决定系统响应的基本形态：●极点位于除原点外的虚轴上等幅振荡●极点位于右半复平面发散●极点位于左半复平面收敛●在收敛的情况下，收敛速度取决于极点与虚轴的距离：极点与虚轴的距离越大，收敛速度越快。●在收敛的情况下，收敛的平稳性（波动性）基本取决于极点与负实轴的夹角（阻尼），零点也有影响。例1：已知某高阶系统G(s)的传递函数为100240309223841510020234562sssssssssG试求该系统的单位阶跃响应。解：采用MATLAB软件计算numerator=[120100];denominator=[11584223309240100];t=(0:0.1:20);step(numerator,denominator,t);计算结果显示：采用MATLAB软件将传递函数改写为零极点形式：numerator=[110100];denominator=[11584223309240100];zpk(tf(numerator,denominator))计算结果显示：125101002403092238415100202222234562ssssssssssssssGZero/pole/gain:(s+10)^2------------------------------(s+5)^2(s+2)^2(s^2+s+1)例2：将上例高阶系统G(s)的传递函数改写为零极点形式即例3：将上例高阶系统G(s)近似为低阶系统G1(s)来进行处理124112122221sssssssG112151001101001251010024030922384151002022222222234562sssssssssssssssssssG采用MATLAB软件计算低阶系统G1的单位阶跃响应：numerator1=[4];denominator1=conv([144],[111]);system1=tf(numerator1,denominator1);t=(0:0.1:20);step(system1,'r',t);低阶系统G1的单位阶跃响应（用红色表示）：将高阶系统G（用蓝色表示）和低阶系统G1（用红色表示）的单位阶跃响应画在同一张图上进行对比，发现二者非常近似：3.5.2主导极点当部分极点与虚轴的距离远远小于其他极点与虚轴的距离时，称该部分极点为主导极点。主导极点对系统输出的影响较大，而其他非主导极点对系统输出的影响较小，可以忽略不计。j0s平面s2s1×××××主导极点j0s平面s1×××主导极点（1）主导极点与非主导极点时间常数1（主导极点对应的时间常数）51()(1)(5)1Gssss例：11()(1)(0.21)1Gssss或(0)G注意：近似时应保证系统增益不变。xo(t)近似xo(t)近似前后的单位阶跃响应曲线222101()(1)(510)1Gsssssss例：0s平面s2s1××-0.50.87×-2.51.94×s3s4在一般情况下，当某些极点与虚轴的距离是其它极点与虚轴距离的4-5倍及以上时，这些极点可以略去。xo(t)近似xo(t)结论：①高阶系统的各个闭环极点对系统时间响应的影响程度是不相同的。在s平面左半平面内，距离虚轴越远的极点，其负实部的绝对值就越大，与这些极点相对应的指数项分量与阻尼指数项分量衰减越快。因此，对高阶系统的时间响应进行近似分析时，可以忽略这些分量的影响。②相反地，距离虚轴很近的极点则对系统的时间响应起主导作用，因而这种极点就被称为主导极点。③在工程上，一般将高阶系统中距离虚轴最近、其实部的绝对值为其它极点绝对值的1/5或更小的闭环极点作为主导极点。主导极点对高阶系统的瞬态响应起主导作用。④对于高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。当零点与虚轴的距离远大于主导极点与虚轴的距离时，这样的零点可以忽略，称为非主导零点。22210(1029)1()29(1)(10)(1)ssGssssss例：0.87×-0.520s2s1××z1z2-5-10s3-2（2）主导极点与非主导零点xo(t)近似xo(t)3.5.3偶极子相消系统零点分布对时域响应的影响)1sin()(21221kkktrkkktpqjjtecbeaatckkj高阶系统的各个闭环极点对系统时间响应的影响程度还取决于在各个闭环极点上的留数的相对大小。如果有一对靠得很近的零点和极点，那么就会使此极点上的留数很小，这可以从计算留数的公式中看出。0s2s1×××偶极子1-1相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。一对靠得很近的零点和极点，在输出中，与该极点相对应的分量可以忽略，也即这一对靠得很近的零点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。经验指出，如果闭环零点和极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级时，则这一对零点和极点就构成了偶极子。偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的，有时可以有目的地在系统中加入适当的零点，以抵消对动态性能影响较大的不利的极点，使系统的性能得到改善。2222a(saδ)G(s)aδ(sa)(ss)a例：讨论不同位置偶极子对系统响应的影响：（1）远离原点的偶极子，其影响可略。（2）接近原点的偶极子，其影响必须考虑。0s2s1×××偶极子1-10s2s1×××偶极子1-1-2-2.2221.81822.2(1)2222?22(s)G(s)(s)(ss)ss2.0,2a2222a(saδ)G(s)aδ(sa)(ss)a例：情况(1)：情况(1)时的单位阶跃响应曲线2.0,2axo(t)近似xo(t)s10s2×××偶极子1-1-0.2-0.22221.81820.22(2)0.2222?22(s)G(s)(s)(ss)ss2222a(saδ)G(s)aδ(sa)(ss)a例：02.0,2.0a情况(2)：情况(2)时的单位阶跃响应曲线xo(t)近似xo(t)02.0,2.0a0s2s1×××偶极子1-1-0.02-0.022221.81820.022(3)0.02222?22(s)G(s)(s)(ss)ss2222a(saδ)G(s)aδ(sa)(ss)a例：002.0,02.0a情况(3)：情况(3)时的单位阶跃响应曲线xo(t)近似xo(t)002.0,02.0a对于高阶的复杂系统，为了简化分析和设计，常常需要将高阶系统转化为低阶系统，而“主导极点”、“非主导零点”和“偶极子”的概念则是高阶系统低阶化的主要依据。综上所述，对于高阶系统，如果能够找到一对共轭复数主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和那些偶极子的影响，从而把它近似成二阶系统来处理，相应的性能指标都可以按二阶系统得到估计，这样就大大简化了系统的分析和设计工作。但是，采用这种方法时必须注意条件。在精确分析中，其它极点和零点对系统时间响应的影响则不能忽略。