无穷等比数列各项的和

无穷等比数列的各项和无穷等比数列（|q|＜1）的各项和：,,,,,112111nqaqaqaa对于数列(|q|＜1)1(1)||1limlim1nnnnaqqSq当时,1lim(1)1nnaqq1(lim1lim)1nnnaqq11aq1.(||1)1aqq211111limlim()nnnnSSaaqaqaq例1：已知无穷等比数列{an}的各项和为3,前3项和为,求这个数列中的所有奇数项的和。926解：设公比为q，由已知条件可得：926313211aaaqa①②由②得：926)1(21qqa926)1(131qqa926)1(33q31q代入①得：.21a∴原数列的所有奇数项构成一个公比为912q的等比数列，其各项和为：499112例2:化下列循环小数为分数：.412.0)3(;82.0)2(;7.0)1(.....;971.017.0007.007.07.07.01:.）（解;992801.0128.0000028.00028.028.082.0)2(..由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比数列的各项之和,且有下列结论:说明:....(3)0.2140.20.0140.20.0140.00001420.0142142122142106.1010.0110990990990445(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循环节的位数相同.(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所组成的数所得的差,分母的头几个数字是9,末几个数字是0,其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同......62124370100.6;0.12;0.370;93993399927如：.....123121113723122290.123;0.231;9009003009909903890381075.389055.9900275如：例3:有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画第三个正方形，……，依次无限地进行下去，求所有这些正方形面积之和。解：设第n个正方形边长为an，面积为bn，则第n+1个正方形边长an+1=an，面积bn+1=bn，2221∴数列{bn}是一个首项为1，公比为的等比数列，21∴所有正方形面积之和为12112S练习1:从∠ABC的边上一点B作BC⊥AC,从C作CD⊥AB,从D再作DE⊥AC,这样无限进行下去,已知BC=5cm,CD=4cm,求这些垂线段长的和。ABCDEFG解:依题意△BCD∽△CDE∽△DEF…CDEDEFCBCDED24,5ED324,5EF2342344454555BCCDDE434,5FG2444lim[55()5()5]555nn145[1()]5lim25415nn练习2:如图,P1是一块半径为1的半圆形纸片,在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得图形P2,然后依次前去更小半圆(其直径为前一被剪半圆的一半)得图形P3,P4,…记纸板Pn的面积为Sn,则12lim______nnSP1P2P322211111[()()]2224nS222111limlim{1[()()]}224nnxnS11412314解:练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn是{an}的前n项和，求的值。nnnSnalim解：dnaan)1(1dnnnaSn2)1(1nnnaSdnnnadnnna2)1()1(11ndadnndadn)2()(221212ndadndad112)(22112()2limlim22nnnnaddnanadSdn课堂小结：1、数列极限的四则运算法则；2、求极限常用方法；3、极限在无穷等比数列中的应用。