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五年级奥数竞赛课本满视界在线课堂上册满视界第一讲整除问题初步•数论专题第1讲知识精讲从这一讲开始，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论。什么是数论呢?人类从学会数数开始，就一直和整数打交道，人们在对整数的应用和研究中探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科。确切地说，数论就是一门研究整数性质的学科。我们就从最基本的性质——整除开始，一起在数论的海洋中遨游吧。数论在数学中的地位是独特的，伟大的，数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠”。知识精讲一、整除的意义如果整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b/a。如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说并不能整除a。注意：整除指的是除数能整除被除数！知识精讲二、整除的一些基本性质1.尾数判断法（1）能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除.（2）能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。（3）能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。2.数字求和法能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。3.奇偶位求差法能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，.......，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，......，统称为偶数位。我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把偶数位上的数字之和简称为“偶位和”。例题一：判断下面是一个数的整除性，23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407。（1）这些数中，有哪些数能被4整除，哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除，哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除，哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？练习一：在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除？哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？如果将例题一中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除，从中我们可以总结出如下规律。和整除性与差整除性：两个数如果都能被自然数a整除，则它们的和与差也能被a整除。上面我们已经学习了如何利用整除特性，解决单个数的整除问题，下面我们再来看一看涉及多个数的整除问题应该如何解决。例题二：173□是一个四位数。温老师说，“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除。”问：文老师在方框中先后填入的三个数字之和是多少？分析：本题包括三个小问题，我们逐个分析，需要分别用到9、11和8的整除特性。练习二：在23□的方框内先后填入三个数字，分别组成3个三位数使他们依次被3、4、5整除。例题三：刘叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上，但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“678”，其中方框表示破了的洞，刘叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元，请问这45名工人的总工资有可能是多少元呢？分析：这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除，我们没有学过被45整除的数的特性。但注意到，45=5×9，于是678应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特性比较好呢？在例三中我们并不知道45的整除特性，但是能被45整除的数也能被5和9整除，那么只考虑5和9的整除特性即可。请同学们注意，虽然45等于3×15，但是在考虑能否被45整除时，不能只考虑被3和15整除，你能想明白这是为什么吗？练习三：四位数33。能被36整除，那么这个四位数可能是多少？例题四：一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“123468”的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而基于数字不得改动，王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码，请问他申请的号码可能是多少？分析：要被8整除说明号码的后三位68是8的倍数，想一下这样的三位数是唯一的吗？练习四：七位数，22333能被44整除，那么这个七位数是多少？有时候满足题目条件的答案会非常多。如果只要求找出最大的或最小的，我们只需要从极端的情况考虑即可。这就是最值的思想。挑战极限例题五：在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？分析：要想让五位数最大且数字不重复，位于前面数位上的数字应尽可能的大。如果想让五位数尽量小，位于前面数位上的数字尽可能的小。例题六：有1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大数是多少？分析：要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数，奇位和与偶位和的和又是什么呢？课堂检测（1）下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100。其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？（2）有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289，其中能被9整除的有哪些？（3）有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588，其中能被11整除的有哪些？（4）125是一个四位数。王老师说，我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，一次能被9，11，8整除，问王老师在方框中先后填入的三个数字之和是多少？（5）阿呆买了72只同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出11.4（表示不明数字），请问总价应该是多少？满视界THANKYOU下次再见~~~~