组合数学在程序设计中的应用

组合数学在程序设计中的应用长沙市第一中学曹利国程序设计一直与数学联系得非常的紧密，特别是像组合数学这一分支，与程序设计有着千丝万缕的联系。对于某些题目，我们用正常的做法想法也许无从下手，但是如果我们把题目的全局或者局部与组合数学联系起来，或许就会“柳暗花明又一村”——找到了一种特别独特，特别有效率的数学方法，把无从下手的棘手题变得简单易行。这就是组合数学在程序中的运用。下面使用几个实例说明组合数学在程序中的运用。引言Catalan数定义：一个凸n边形通过不相交于n边形内部的对角线把n边形拆分成若干三角形的不同拆分数。分析•设Cn表示凸n边形的拆分方案总数。由题目中的要求可知一个凸n边形的任意一条边都必然是一个三角形的一条边，边P1Pn也不例外，再根据“不在同一直线上的三点可以确定一个三角形”，只要在P2，P3，……，Pn-1点中找一个点Pk(1kn)，与P1、Pn共同构成一个三角形的三个顶点，就将n边形分成了三个不相交的部分(如图3所示)，我们分别称之为区域①、区域②、区域③，其中区域③必定是一个三角形，区域①是一个凸k边形，区域②是一个凸n-k+1边形，区域①的拆分方案总数是Ck，区域②的拆分方案数为Cn-k+1，故包含△P1PkPn的n边形的拆分方案数为CkCn-k+1种，而Pk可以是P2，P3，……，Pn-1种任一点，根据加法原理，凸n边形的三角拆分方案总数为，同时考虑到计算的方便，约定边界条件C2=1P1Pn①②③图4P2P3PkPn--1112inniiCC=C(2n,n)/(n+1)112inniiCC具体实现时，若直接用上述公式计算，对数字的精度要求较高。可将其化为递归式)1(1)12(*2)(nfnnnf再进行递推计算，并且注意类型的定义要用comp型。•n个+1，n个-1构成2n项•a1,a2,a3,a4,,,,,,a2n其部分和满足a1+a2+......ak(k=1,2,3,...2n)=0的数列个数。•序列a1a2..ak的元素顺序保持不变，按不同结合方式插入合法圆括号对的方案数。n=4(a((bc)d))(a(b(cd)))((ab)(cd))(((ab)c)d)((a(bc))d)一个操作数序列，从1，2，一直到n，栈A的深度大于n。现在可以进行两种操作：1．将一个数，从操作数列的头端移至栈的头端（对应栈的push操作）2．将一个数，从栈的头端移至输出序列的尾端（对应栈的pop操作）。使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下表为由123生成序列231的过程。步骤0123456操作数序列1232333栈1211311输出序列2223231你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，……，n经过操作可能得到的输出序列总数。一栈(Noip2003普及组第三题)结合定义我们很容易能发现：如果进栈看成1，出栈看成0，在任何一位上累计的“0”的个数不大于累计的“1”的个数，因为必须在栈里有数的情况下才能向外弹数。原题转化为——n个1和n个0组成一个2n位的二进制数，要求从左到右扫描，“0”的累计数不大于“1”的累计数，求满足条件的数有多少。二Littlerooks(SGU222)将k个车摆在n*n的棋盘上，使得任何两个车不能互相攻击（车可以横着或竖着走无限格，不能走斜线）算法描述组合数学：排列与组合由于题目里的棋子是“车”而不是“后”，所以一个棋子不会影响到与其不同行或与其不同列的棋子。结合n皇后问题的方案表示法，我们很容易想到排列组合。排列的定义：设A={a1,a2,a3……an}是n个不同元素的集合，r满足0=r=n。任取A中r个元素按顺序排成一列，称为从A中取r个的一个排列。组合的定义：当从n个元素中取出r个而不考虑它的顺序时，称为从n中取r的组合。根据鸽巢原理n=k，先从简单的情况下手：n=k。此时的公式非常简单：P(n,k)。主要就是对于nk的情况时的处理。因为每一列最多只能放一颗棋子，所以我们首先把没有棋子的列去掉，再合并成一个n*k的棋盘，结合刚才的数据结构我们能很快知道在这个新棋盘上摆k个棋子还是P(n,k)种方案，再把去掉的(n-k+1)列插入摆棋子的k行中，插入方案总数易得为C(n,k)种。根据乘法原理，总方案数为C(n,k)*P(n,k)种。这样一来程序实现起来就方便多了。错排问题：n个数，分别为1~n，排成一个长度为n的排列。若每一个数的位置都与数的本身不相等，则称这个排列是一个错排。例如，n=3，则错排有231、312。编写程序，求n的错排个数。三错排问题（经典问题）组合数学：递推我们设k个元素的错位全排列的个数记做：W(k)。四个元素的错位排列W(4)我们用穷举法可以找到如下9个：(4，3，2，1)(3，4，1，2)(2，1，4，3)(4，1，2，3)(3，4，2，1)(3，1，4，2)(4，3，1，2)(2，4，1，3)(2，3，4，1)它们有什么规律呢？通过反复的试验，我们发现事实上有两种方式产生错位排列：A.将k与(1，2，…，k－1)的某一个数互换，其他k－2个数进行错排，这样可以得到(k－1)×W(k-2)个错位排列。B.另一部分是将前k－1个元素的每一个错位排列（有W(k-1)个）中的每一个数与k互换，这样可以得到剩下的(k－1)×W(k-1)个错位排列。根据加法原理，我们得到求错位排列的递推公式W(k):W(k)=(k–1)*[W(k–1)+W(k–2)]结论其实视野看得发散一些，扩展一些，能融入程序设计的知识点不仅限于组合数学，还有拓扑学，微积分，计算几何……甚至是物理，化学。这样跨学科的融合相信能给信息学计算机这门学科焕发新的光彩。从上述题我们能发现一个共同特点，也就是将组合数学融入题目中，简单而又快速的解决题目。它说明：程序设计不一定是拿着现成的思路或算法去生搬硬套，也许我们换个角度，换个思路，或者进行数学建模与变换，将组合数学里的一些结论，定理，性质与程序结合起来，达到事半功倍的效果。当然，要熟练的掌握这方面的技能与技巧还是在乎于我们平常的多看多想多练。