论文：同频率互相垂直简谐振动的合成

目录摘要……………………………………………………………………………1关键词………………………………………………………………………………1Abstract………………………………………………………………………………1Keywords…………………………………………………………………………1引言………………………………………………………………………………11简谐振动…………………………………………………………………………11.1定义…………………………………………………………………………21.2描述简谐振动的物理量………………………………………………………22互相垂直相同频率简谐振动的合成………………………………………33同频率互相垂直简谐振动的合成在光的叠加中的体现………53.1线偏振光………………………………………………………………………53.2圆偏振光………………………………………………………………………63.3椭圆偏振光……………………………………………………………………74应用………………………………………………………………………………8结论………………………………………………………………………………8参考文献……………………………………………………………………………81两个同频率、互相垂直简谐振动的合成摘要：本文介绍了同频率互相垂直简谐振动的合成的定义，描述了简谐振动的物理量以及简谐振动的方程，并阐述了同频率互相垂直简谐振动的合成在光的叠加中的体现及其应用,使我们对简谐振动物体的运动规律的认识提升到一个更高的层次。关键词：同频率互相垂直的简谐振动；相关物理量；合成AnalysisofthesimpleharmonicmotionAbstract：Thispaperintroducestheverticalsimpleharmonicoscillatorfrequencywitheachotherthesynthesisofdefinition,describesthesimpleharmonicoscillatorphysicalquantitiesandsimpleharmonicoscillator,andexpoundstheequationwithfrequencyperpendiculartothesynthesisofsimpleharmonicoscillatorinlightofthesuperpositionofreflectanditsapplication,enabledustosimpleharmonicoscillatorobjectthemotionlawoftheunderstandingofelevatedtoahigherlevel.Keywords：withfrequencyperpendicularsimpleharmonicoscillator,relatedparameters;synthesis引言振动中最简单的就是简谐振动，而简谐振动中需要研究的东西有很多，有简谐振动的动力学特征，简谐振动的运动学，简谐振动的能量转化及简谐振动的合成，我们本文主要研究的是互相垂直简谐振动的合成，它是振动合成中较简单的一种。此种简谐振动的合成的应用范围也很广，我们下2面将要讨论的是一般的合成以及它的一种特殊体现—光的偏振现象，这能使我们更好的了解物质的运动规律。1简谐振动1.1定义质点在某位置所受的力(或沿运动方向受力的)等于零,则此位置称平衡位置。若作用于质点的力总于质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称线性回复力。以平衡位置为原点，以x表示质点相对于原点的位移，线性回复力FxFx是正常数。上式反映了线性回复力的特征：力xF是质点位移x的线性函数。且与位移x反向，即促使质点返回平衡位置。质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫做简谐振动[1]。而如果体系在振动过程中只以一个频率振动，其余频率的振动没有激发，则反映这种振动模式的坐标就是简正坐标，相应的振动模式称为简正振动或本征振动[2]。在两种情况下物体将做简谐振动：（1）物体受到大小跟位移成正比，方向恒相反的两作用力，在合外力作用下的运动是简谐振动。（2）物体的运动参量，随时间按正弦或余弦规律变化的振动是简谐振动。1.2.描述简谐振动的物理量`1.2.1周期（T）物体做简谐振动时完成一次全振动，即物体从始点开始振动到第一次回到与初始状态完全相同时的状态所用的时间叫做周期，用T来表示。由式[3])cos()(costATtA可得2,2TT弹簧振子的周期mkT22。31.2.2频率（）做简谐振动的物体在单位时间内完成的全振动的次数叫做频率，用来表示。21T为在2个单位时间内完成的全振动的次数，即圆频率。1.2.3振幅)(A物体离开平衡位置最大位移的绝对值叫做振幅，它的大小取决物体的初始初始状态及物体的受力情况。1.2.4位相和初位相)(和振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道才能完全决定系统的运动状态。在A和已知的前提下，还有一个量是十分重要的，那就是t，这个量叫相位，是0t时的相位，叫初相位，简称初相。2互相垂直相同频率简谐振动的合成当一个质点同时参与两个不同方向的振动时，它的合位移是两个分位移的矢量和。这时质点在两个运动方向所决定的平面上运动，它的轨道一般为平面曲线，曲线形状取决于两个振动的周期、振幅和相位差。对于两个互相垂直并具有相同频率的简谐振动的合成，设两个振动的方向分别沿着x轴和y轴，并将其振动表达式表示为)cos(1tAx，)cos(2tBy)1(由以上两式消去t，就得到合振动的轨迹方程。为此，先将式(1)改写成下面的形式2211sinsincoscossinsincoscosttByttAx以cos2乘以式第一式，以cos1乘以式第二式，并将所得两式相减，得：)sin(sincoscos1212tByAx)2(以sin2乘以第一式，以1sin乘以第二式，并将所得两式相减，得：4)sin(cossinsin1212tByAx)3(将式(2)和式(3)分别平方，然后相加，就得到合振动的轨迹方程：)(sin)cos(2122122222ABxyByAx)4(式(4)是椭圆方程，所以在一般情况下，两个互相垂直的、频率相同的简谐振动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状决定于分振动的相位(12)。下面分析几种特殊情形。(1)当相位差为或0时，合振动的轨迹是过原点的直线。当012时，此直线位于一，三象限，斜率为12AA；当12时，此直线位于二，四象限，斜率为12AA；显然，在两种情况下，合振动都仍然为简谐振动，合振动的频率与分振动相同，而合振动的振幅为AA2212。其图分别如下)()(ea和所示0020212122212212AyAxAAxyAyAx或002212122212212AyAxAAxyAyAx（2）当相位差是2时，合振动的轨迹是以坐标轴的正椭圆。当212时，振动沿顺时针方向进行，如下图)(c所示；当2312时，振动沿逆时针方向进行，见下图中)(g所示；如果两个分振动的振幅相等，即21AA，椭圆变为圆。1222212212AyAx（3）如果两个分振动的相位差为其他值，那么其合振动的轨迹表现为与形状各不相同的椭圆，质点运动方向也各异，分别如下图))()()((hfdb所示[4]5图1同频率互相垂直简谐振动合成的轨迹与相位差的关系3同频率互相垂直简谐振动的合成在光的叠加中的体现光的叠加原理指出：当空间某处受到两个或两个以上光波同时作用时，该处光振动的总复振幅，应为各个光波对该处独立作用时的复振幅矢量的线性叠加，也就是说，当几个光波同时作用时，该处的光强并不是各光波独立作用时光强的总和，而必须把各光波中的复振幅进行矢量叠加求总振幅，才能得到其总光强。光的叠加原理不仅可以用于叠加振动方向相同的各个光波，也可以用于叠加振动方向不同的光波。设有两个初相位相等，频率为的单色光，一个振动方向平行x轴，另一个平行于y轴，由它们叠加的结果可以得出，其在正交方向上振荡并具有等初相位的先偏振光，可以合成一个线偏振光。光波是一种电磁横波，光的横波性表明了光振动的电矢量E与光的传播方向垂直。在与光的传播方向垂直的平面内，电矢量还可能有各种各样的振动状态，这些各式各样的振动状态称为光的偏振状态或偏振结构，简称为光的偏振或偏振光。根据不同的偏振状态，通常把偏振光[5]分为：线偏振光、圆偏振光、椭圆偏振光和部分偏振光。我们经常讨论的是线偏振光、圆偏振光和椭圆偏振光三种。3.1线偏振光在与传播方向垂直的平面内，光矢量E只改变大小不改变方向，若迎着光传播方向V观察，光矢量的末端轨迹是一条直线，这种光称为线偏振光。在同一时刻，光传播方向上各点的光矢量都分布在同一平面内，所以线偏振光又称为平面偏振光。光矢量和传播方向所确定的面称为振动面。对于沿z方向传播，在yx,平面内任意取向的线偏振光（如图7-3），其波方程为E=)sin(kzta将其分解为在yx,方向的两个分振动，它们的振幅和波方程分别为cosaax，)sin(kztaExxsinaay，)cos(kztaEyy6图2线偏振光可见，任意取向的线偏振光，可看成是两个振动方向互相垂直，振幅不等，位相差为零的线偏振光的合成。3.2圆偏振光在与传播方向垂直的平面内，光矢量E大小不变，其方向以圆频率旋转，若迎着光传播方向观察，光矢量末端轨迹是一个圆，这种光称为圆偏振光。沿Z方向传播的圆偏振光可以看成两个振动方向互相垂直，振幅相等，位相差为2的线偏振光的合成。即jEiEEyx式中分别为yx,方向的单位矢量；而)sin(kztaEx)cos()2sin(kztakztaEy)5(上式即为圆的参数方程，两者平方相加可得到光矢量E末端的轨迹方程为：aEyEx222它为一个圆。若2前取号，表示x方向的振动位相比y方向的振动位相落后2，则迎着光的传播方向观察到光矢量沿顺时针方向旋转，这种光称为右旋光。如下图3所示。反之，2前取-号，表示x方向的振动位相比y方向的振动位相超前2，则迎着光的传播方向观察到光矢量沿逆时针方向旋转，这种光称为左旋光。图3右旋圆偏振光xyEaaxay73.3椭圆偏振光在与传播方向垂直的平面内，光矢量E大小和方向都改变，且其方向以圆频率旋转，若迎着若迎着光传播方向V观察，光矢量的末端轨迹是一个椭圆，这种光称为椭圆偏振光。沿Z方向传播的椭圆偏振光可以看成两个振动方向互相垂直，振幅不等，位相差为定值的线偏振光的合成。即E=jEyiEx。其中)sin(kztaEx)sin(kztbEy其中为y方向振动与x方向振动的位相差。上式即椭圆的参数方程。消去t得其轨迹方程sincos222222abEEbEaEyxyx)6()6(式即为光矢量E末端的轨迹方程，它是一个椭圆，椭圆的取向和旋转方向取决于位相的值。当的取值不同时，其合振动的轨迹也不相同，我们通常讨论的都是较常规的，如下：（1）当时，轨迹方程变为212222bEaEyx，这是长短轴分别与x、y轴重合的正椭圆，其中当2，其为右旋光；当2时，其为左旋光。（2）当474，时，其为下图4所示的右旋光；当中当4543，时，其为下图所示的左旋光。图4椭圆偏振光84应用同频率互相垂直简谐振动的合成的应用范围是非常广的，它不仅用于简单的弹簧振子、单摆和光的叠加，它还是用于声波的叠加，及电磁波的合成。随着人们对简谐振动合成的进一步理解，人们发明