初三中考复习二次函数最值问题

..二次函数之最值问题基本解题步骤：1．审题．读懂问题.分析问题各个量之间的关系；2．列数学表达式．用数学方法表示它们之间的关系.即写出变量与常量之间的二次函数关系式；3．求值．利用二次函数关系式的顶点坐标公式24,24bacbaa或配方法求得最值；配方法：将二次函数2yaxbxc转化为2()yaxhk的形式.顶点坐标为,hk.对称轴为xh．当0a时.y有最小值.即当xh时.=yk最小值；当0a时.y有最大值.即当xh时.=yk最大值．4．检验．检验结果的合理性．（函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围）解题策略转化数学检验解答实际问题数学问题解问题答案关键在如何将实际问题转化为数学问题利润最值问题：此类问题一般先是运用=“总利润总售价-总成本”或=“总利润每件商品的利润销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式.再求出这个函数关系式的顶点坐标.顶点的纵坐标即为最大利润．特殊地.这里要考虑实际问题中自变量的取值范围.数形结合求最值．例1例2线段和或差（或三角形周长）最值问题：此类问题一般是利用轴对称的性质和两点之间线段最短确定最短距离.这个距离一般用勾股定理或两点之间距离公式求解．特殊地.也可以利用平移和轴对称的知识求解固定线段长问题．最短距离和找法：以动点所在的直线为对称轴.作一个已知点的对称点.连结另一个已知点和对称点的线段.与对称轴交于一点.这一点即为所求点．线段长即为最短距离和．口诀：“大”同“小”异求最值．“大”同：求差的最大值.把点移动到直线的同侧．“小”异：求和的最小值.把点移动到直线的两侧．（几何最值较多）例3例4例5线段长最值问题：根据两点间距离公式12xx把线段长用二次函数关系式表示出来求最值．几何面积最值问题：此类问题一般是先运用三角形相似.对应线段成比例等性质或者用“割补法”或者利用平行线得到三角形同底等高进行面积转化写出图形的面积y与边长x之间的二次函数关系.其顶点的纵坐标即为面积最值．例6例7例8动点产生的最值问题：数形结合求解.把路程和转化成时间和.当三点共线时有最值．例9例10..利润最值问题例1、一玩具厂去年生产某种玩具.成本为10元/件.出厂价为12元/件.年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次.以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍.今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍.则预计今后年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中01x）．（1）用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为_______元.今年生产的这种玩具每件的出厂价为______元．（2）求今年这种玩具每件的利润y元与x之间的函数关系式；（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元.求当x为何值时.今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．解：（1）10+7x；12+6x；（2）y=（12+6x）-（10+7x）.∴y=2-x（0＜x≤11）；（3）∵w=2（1+x）•y=2（1+x）（2-x）=-2x2+2x+4.∴w=-2（x-0.5）2+4.5∵-2＜0.0＜x≤11.∴w有最大值.∴当x=0.5时.w最大=4.5（万元）．答：当x为0.5时.今年的年销售利润最大.最大年销售利润是4.5万元．..例2、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机.及时调整投资方向.瞄准光伏产业.建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高.且市场占有率不高等因素的影响.产品投产上市一年来.公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如下图所示的图象上．该图象从左至右.依次是线段OA、曲线AB和曲线BC.其中曲线AB为抛物线的一部分.点A为该抛物线的顶点.曲线BC为另一抛物线252051230yxx的一部分.且点A.B.C的横坐标分别为4.10.12．（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中.第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？解：（1）设直线OA的解析式为y=kx.∵点O（0.0）.A（4.-40）在该直线上.∴-40=4k.解得k=-10.∴y=-10x；∵点B在抛物线y=-5x2+205x-1230上.设B（10.m）.则m=320．∴点B的坐标为（10.320）．∵点A为抛物线的顶点.∴设曲线AB所在的抛物线的解析式为y=a（x-4）2-40.∴320=a（10-4）2-40.解得a=10.即y=10（x-4）2-40=10x2-80x+120．114CBx(月)y(万元)40OA..（2）利用第x个月的利润应该是前x个月的利润之和减去前x-1个月的利润之和：（3）由（2）知当x=1.2.3.4时.s的值均为-10.当x=5.6.7.8.9时.s=20x-90.即当x=9时s有最大值90.而在x=10.11.12时.s=-10x+210.当x=10时.s有最大值110.因此第10月公司所获利润最大.它是110万元．试一试：1、某水果批发商销售每箱进价为40元的的苹果.物价部门规定每箱售价不得高于55元.市场调查发现.若每箱以50元的价格销售.平均每天销售90箱.价格每提高1元.平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的售价为多少元时.可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）设y=kx+b.把已知（45.105）.（50.90）代入得.故平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为：y=-3x+240；..（2）∵水果批发商销售每箱进价为40元的苹果.销售价x元/箱.∴该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为：W=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600．（3）W=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200.∵a=-3＜0.∴抛物线开口向下．又∵对称轴为x=60.∴当x＜60.W随x的增大而增大.由于50≤x≤55.∴当x=55时.W的最大值为1125元．∴当每箱苹果的销售价为55元时.可以获得最大利润.为1125元．2、我市某镇的一种特产由于运输原因.长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元.可获得利润216041()100Px万元．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售.其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资.在实施规划5年的前两年中.每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路.两年修成.通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中.该特产既在本地销售.也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元.可获利润2992941001001601005Qxx（万元）．（1）若不进行开发.求5年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施.求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）.（2）.该方案是否具有实施价值？解：（1）∵每投入x万元.可获得利润∴当x=60时.所获利润最大.最大值为41万元.∴若不进行开发.5年所获利润的最大值是：41×5=205（万元）；（2）前两年：0≤x≤50.此时因为P随x的增大而增大.所以x=50时.P值最大.即这两年的获利最大为后三年：设每年获利y.设当地投资额为a.则外地投资额为100-a.∴当a=30时.y最大且为1065.∴这三年的获利最大为1065×3=3195（万元）.∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3195-50×2=3175（万元）．..线段和（或三角形周长）最值问题复习：如图.正方形ABCD的边长为4.点P在DC边上且DP=1.点Q是AC上一动点.则DQ+PQ的最小值为．例1、已知二次函数2yxbxc的图象过点3,0A和点1,0B.且与y轴交于点C.D点在抛物线上且横坐标是2．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P.求出PAPD的最小值．..例2、如图.在平面直角坐标系xOy中.直线323yx分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN.点D为AM上的动点.点B为AN上的动点.点C在∠MAN的内部．（1）求线段AC的长；（2）当AM∥x轴.且四边形ABCD为梯形时.求△BCD的面积；（3）求△BCD周长的最小值；（4）当△BCD的周长取得最小值.且523BD时.△BCD的面积为________.....例3、已知.如图.二次函数2230yaxaxaa图像的顶点为H.与x轴交于A、B两点（B在A点右侧）.点H.B关于直线l：333yx对称．（1）求A、B两点坐标.并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点.M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点.连接HN.NM.MK.求HNNMMK和的最小值．yAxOBHK....试一试：1、已知抛物线21yaxbx经过点1,3A和点2,1B．（1）求此抛物线解析式；（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点.求四边形ABCD周长的最小值；（3）过点B作x轴的垂线.垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发.先沿抛物线的对称轴到达F点.再沿FE到达E点.若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的2倍.试确定点F的位置.使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法.但不要求证明）..二次函数中字母替换例1、如图.已知A（a.m）、B（2a.n）是反比例函数)0(kxky与一次函数bxy34图像上的两个不同的交点.分别过A、B两点作x轴的垂线.垂足分别为C、D。连结OA、OB.若已知21a.则求OABS的取值范围。..例2、已知点(1,)Ac和点(3,)Bd是直线1ykxb和双曲线220kykx的交点（1）过点A做AMx轴.垂足为M,连接BM,若AMBM.求点B的坐标（2）若点P在线段AB上.过点P做PEx轴.垂直为E,并交双曲线220kykx于点N,当PNNE取最大值时.有12PN,求此时双曲线的解析式。..作业：1、（2010眉山市26,12分）如图.Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上.O为坐标原点.A、B两点的坐标分别为3,0、0,4.抛物线223yxbxc经过B点.且顶点在直线52x上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的.当四边形ABCD是菱形时.试判断点C和点D是否在该抛物线上.并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点.过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t.MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式.并求l取最大值时.点M的坐标．_yCEDOANBMxy..ENMDCBAOyx解：（1）由题意.可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32yxm…（1分）∴2254()32m∴16m……………………………………………………………（3分）∴所求函数关系式为：22251210()432633yxxx…………（4分）（2）在Rt△ABO中.OA=3.OB=4.∴225ABOAOB∵四边形ABCD是菱形∴BC=CD=DA=AB=5……