细杆的热传导

数学物理方法中的Matlab应用——细杆热传导问题问题叙述：求解细杆导热问题，初始温度为零，一端lx保持零度，另一端0x的温度为At（A是常数，t代表时间）。分析：,02xxtuau（1）,0,0lxxuAtu（2）,00tu（3）解本题时，希望将边界条件化为齐次时，仍保持泛定方程为齐次，令,)()(vxgxAtfu（4）代入泛定方程（1），整理后有：,0)('')('')(222xgaxAtfaxAfvavxxt（5）为了得到关于v的齐次泛定方程，就要选择（4）中的f（x）和g（x），使（5）式中的后面几项消去。显然，若f（x）取x的一次式，则f（x）=0，因此选lxxf1)(即可。从而在（5）中，因,0)('',1)('xflxf所以0)(''2xAtfa。同时又为了得到齐次边界条件，可按下列方程决定g（x）：),1()()(''2lxAxAfxga（6）,0)()0(lgg（7）对（6）积分两次：,)2()('122ClxxaAxg,)62()(21322CxClxxaAxg由边界条件（7）：.0)0(2Cg,0)62()(1322lClllaAlg,321aAlC)],(2)(3)[(6)(2322lxlxlxaAlxg（8）vlxlxlxaAltlxAtxu)](2)(3)[(6)1(),(2322（9）由（5）式得齐次泛定方程：,02xxtvav（10）由（2）和（9）得初始条件：,00lxxvv（11）由（3）和（9）得初始条件：)](2)(3)[(623220lxlxlxaAlvt（12）对于（10）（11）和（12）的定解问题，其解为：,sin12222ktlakkelxkCv)],(2)(3)[(6sin232210lxlxlxaAllxkCvkkt.2}cos66cos6{3]}sincos[6cos6{3]}coscos[6)(cos6{3]}sin2sin[3sin6sin6sin2{3]cos3cos6cos2[3)]}(2)(3)[(coscos)](2)(3)[({3sin)](2)(3)[(6223322322022022220020222200220002222230200222300232223022akAlkkkkkakAllxkklkklllxkkakAldxlxklxkxklllxkdkakAldxlxkxlxkxllxkxldxlxkllxkakAldxlxkxldxlxkxldxlxklakAllxlxlxdlxklxklxlxlxakAldxlxklxlxlxaAllCllllllllllllllllk,sin2222213232tlakkelxkkaAlv.sin12)](2)(3)[(6)1()()(),(2222132322322tlakkelxkkaAllxlxlxaAltxAtvxgtxAftxu此处，我们选择铁作为细杆的材质。查询资料得：铁的热传导系数；铁80k铁的比热容CkgJc/460铁铁的密度为33/kg108.7m铁则可计算得：31072.4a编写程序：A=1;l=20;a=0.00472;t=x;g=linspace(-pi,pi,25);x=linspace(0,20,20);[G,X]=meshgrid(g,x);Y=sin(G);Z=cos(G);mesh(X,Y,Z);axisequal;f1=0;forn=1:1:6f2=(1/n^3)*exp((-n^2*pi^2*a^2)*t/l^2).*sin(n*pi.*X./l);f1=f1+f2;endf=A*t.*(1-X./l)-(l^2*A)/(6*a^2).*((X./l).^3-3.*(X./l).^2+2.*(X./l))+(2*A*l^2)/(pi^3*a^2)*f1;fun=f;surf(X,Y,Z,fun)colormap(jet)colorbar('horiz')输出的三维图形：红色：温度较高部分蓝色：温度较低部分结论：1、热能由x=0端输入，传向x=l端；2、x=l端不接收热能，热能都被lx0部分吸收；3、随着时间的增长，所得图像看上去不改变，但它们所对应的数值变大了。并且它们之间的温度梯度随着时间的增长而变大，即xu逐渐变大。姓名：王凯学院：物理学院学号：20104826专业：电子信息科学与技术