2.1.1椭圆及其标准方程

第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程生活中有哪些椭圆的例子？一、引入结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆。常数必须大于两定点的距离1、椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|=2c。1F2FM几点说明：1、椭圆定义式：|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c.则M点的轨迹是椭圆.2、若|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.3、若|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c，则M点的轨迹不存在.二、讲授新课应用举例例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。解(1)因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。(3)因|MF1|+|MF2|=3|F1F2|=4，故点M的轨迹不成图形。♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)OxyF1F2M如图所示：F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1|+|MF2|=2a且2a2caycxycx2)()(:2222即2、椭圆标准方程及其推导OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)(:ycxycxaaycx两边平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(ab0)这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。acbOXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0,c))0(12222babyax)0(12222babxay椭圆的标准方程的几点说明：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一条轴上，大分母为a2，小分母为b2.椭圆的标准方程2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪条轴上12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系a2-c2=b23、椭圆的标准方程小结|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)12yoFFMxyxoF2F1M22221.153xy，则a＝，b＝22222.146xy，则a＝，b＝5346口答：则a＝，b＝则a＝，b＝37169.322yx147.422yx2614)1(22yx154)2(22yx434)3(22yx例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。例2、椭圆上一点P到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离是（）A.5B.7C.8D.22212516xyB例3．(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。(3)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.53(,)22(3)经过点63，3和点223，1.2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪条轴上12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系a2-c2=b2|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0)12yoFFMxyxoF2F1M