高中数学知识框架思维导图(整理版)

高考数学知识框架思维导图第一部分集合、映射、函数、导数及微积分定义表示解析法列表法三要素图象法定义域对应关系值域性质奇偶性周期性对称性单调性具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；奇函数𝑓(𝑥)在x＝0处有定义→f(0)＝0；偶函数f(x)＝f(|x|)1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性最值二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函数有界性、数形结合、单调性、导数.指数函数、对数函数、幂函数、三角函数基本初等函数抽象函数复合函数赋值法、典型的函数模型函数与方程求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布零点函数的应用建立函数模型使解析式有意义或有实际意义函数求解析式：换元法、代入法、凑配法、构造方程组法分段函数注意应用函数的单调性求值域f(x+T)＝f(T)；对称性与周期性的“知二求一”复合函数的单调性：同增异减一次、二次函数、反比例函数、双勾函数图象、性质和应用1、f(a+x)＝f(b-x)，对称轴为𝑥=𝑎+𝑏22、f(a+x)+f(b-x)=c，对称中心为(𝑎+𝑏2,𝑐2)分段探究，整体考察平移变换：𝑦=𝑓(𝑥)→𝑦=𝑓(𝑥±𝑎)，𝑦=𝑓(𝑥)→𝑦=𝑓(𝑥)±𝑏，𝑎,𝑏0对称变换：𝑦=𝑓(𝑥)→𝑦=−𝑓(𝑥)，𝑦=𝑓(𝑥)→𝑦=𝑓(−𝑥)，𝑦=𝑓(𝑥)→𝑦=−𝑓(−𝑥)翻折变换：𝑦=𝑓(𝑥)→𝑦=|𝑓(𝑥)|，𝑦=𝑓(𝑥)→𝑦=𝑓(|𝑥|)伸缩变换：𝑦=𝑓(𝑥)→𝑦=𝐴𝑓(𝑥)，𝑦=𝑓(𝑥)→𝑦=𝑓(𝜔𝑥)函数图象及其变换𝑓:𝐴→𝐵：一对一，或多对一映射概念元素与集合之间的关系：∈，∉数轴、Venn图、函数图象性质确定性、互异性、无序性集合集合的表示列举法、描述法、图示法集合间的关系子集、相等、真子集：⊆，⊇，=，⫋，⫌运算：交集(𝐴∩𝐵)、并集(𝐴∪𝐵)、补集(𝑈𝐴)集合的分类有限集、无限集、空集（）含有𝑛个元素的集合𝐴的子集个数是2𝑛，真子集个数是2𝑛−1，非空子集个数为2𝑛−1，非空真子集的个数是2𝑛−2．(𝐴，)第二部分三角函数与平面向量三角函数的图象与性质定义域奇偶性单调性周期性最值对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂直x轴的直线，对称中心是正余弦函数图象的零点，正切函数的对称中心为(𝑘𝜋2，0)（k∈Z）.正弦函数y＝sinx=余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanxy＝Asin(x＋)＋b①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意的符号）；④最小正周期T＝2||；⑤对称轴x＝(2k＋1)－22，对称中心为(k－，b)（k∈Z）；⑥若y＝Asin(x＋)具有奇偶性，则𝜑=𝑘𝜋或𝜑=𝑘𝜋+𝜋2（二者必居其一）.值域图象对称性基本初等函数的导数导数的概念导数的应用几何意义、物理意义单调性导数的正负与单调性的关系生活中的优化问题定积分与微积分定积分与图形的计算三次函数的性质、图象与应用最值极值微积分基本定理：∫𝑓(𝑥)𝑏𝑎d𝑥=𝐹(𝑥)|𝑏𝑎=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)求导公式①𝐶′=0，②(𝑥𝑛)′=𝑛𝑥𝑛−1，③(sin𝑥)′=cos𝑥，④(cos𝑥)′=−sin𝑥，⑤(𝑒𝑥)′=𝑒𝑥，⑥(𝑎𝑥)′=𝑎𝑥ln𝑎，⑦(ln𝑥)′=1𝑥，⑧(log𝑎𝑥)′=1𝑥ln𝑎求导法则①[𝑓(𝑥)±g(𝑥)]′=𝑓′(𝑥)±g′(𝑥)；②[𝑓(𝑥)∙g(𝑥)]′=𝑓′(𝑥)g(𝑥)+𝑓(𝑥)g′(𝑥)；③[𝑓(𝑥)g(𝑥)]′=𝑓′(𝑥)g(𝑥)−𝑓(𝑥)g′(𝑥)g2(𝑥)；④复合函数𝑦=𝑓(𝑎𝑥+𝑏)的导数：𝑦𝑥′=𝑦𝑢′∙𝑢𝑥′导数的运算法则导数切线方程：𝑦−𝑓(𝑥0)=𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)解三角形余弦定理：𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴面积正弦定理：𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2𝑅解三角形，解的个数的讨论实际应用S△＝12ah＝12absinC＝p(p－a)(p－b)(p－c)（其中p＝a＋b＋c2）=𝑎𝑏𝑐4𝑅=12(𝑎+𝑏+𝑐)𝑟=12|𝑥2𝑦1−𝑥1𝑦2|角的概念任意角的三角函数的定义同角三角函数的关系三角函数弧度制:π=180°弧长公式𝑙=𝛼𝑟、扇形面积公式𝑆=12𝑙𝑟三角函数线同角三角函数的关系:sin2𝛼+cos2𝛼=1,sin𝛼cos𝛼＝tanα诱导公式：奇变偶不变，符号看象限和角、差角公式，辅助角公式（𝑎sin𝑥±𝑏cos𝑥）二倍角公式，降幂公式（cos2α=1+cos2α2,sin2α=1−cos2α2）公式的变形、逆用、“1”的替换化简、求值、证明（恒等变形）0𝑥π2时，sin𝑥𝑥tan𝑥第三部分数列与不等式平面向量概念线性运算平面向量基本定理：𝑎⃗=𝜆1𝑒⃗1+𝜆2𝑒⃗2，𝑒⃗1、𝑒⃗2不共线加、减、数乘几何意义坐标表示数量积𝑎⃗∙𝑏⃗⃗＝|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|cosθ几何意义模共线与垂直共线（平行）垂直a→∥b→b→＝a→x1y2－x2y1=0a→⊥b→a→·b→＝0x1x2＋y1y2=0投影b→在a→方向上的投影为|b→|cos＝a→·b→——|a→|设a→与b→夹角，则cos＝a→·b→——|a→|·|b→||a→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2夹角公式1.三角形中线的向量表示：∆𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边的中点为𝐷⇔𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗．2.已知𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗不共线，若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑂𝑃1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−𝜆)𝑂𝑃2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝑃1，𝑃，𝑃2三点共线．两个常用小结论概念数列表示等差数列与等比数列性质的类比通项公式、递推公式图象法列表法通项公式求和公式性质判定an＝a1＋(n－1)dan＝am＋(n－m)dan＝a1qn－1an＝amqn－man＋am＝ap＋aranam＝apar前n项和𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2前n项积(an＞0)Tn＝(a1an)n常见递推类型及方法累加法、化常数列累乘法、化常数列构造等比数列{an＋qp－1}构造等差数列①an＋1－an＝f(n)②an+1an＝f(n)③an＋1＝pan＋q④pan＋1an＝an－an＋1化为an＋1qn=pq·anqn－1＋1转为③⑤an+1＝pan＋qn等比数列an≠0，q≠0Sn＝na1，q＝1a1(1－qn)1－q，q≠1公式法：应用等差、等比数列的前n项和公式分组求和法倒序相加法裂项求和法:𝑎−𝑏𝑎𝑏=1𝑏−1𝑎错位相加法:𝑎𝑛=(𝑎𝑛+𝑏)𝑞𝑛−1→𝑆𝑛=(𝐴𝑛+𝐵)𝑞𝑛−𝐵常见求和方法数列是特殊的函数、增减性、周期性1.2𝑘(2𝑘−1)(2𝑘+1−1)=12𝑘−1−12𝑘+1−12.𝑛+1𝑛2(𝑛+2)2=14(1𝑛2−1(𝑛+2)2)3.(−1)𝑛∙4𝑛(2𝑛−1)(2𝑛+1)=(−1)𝑛(12𝑛−1+12𝑛+1).𝑎𝑛与𝑆𝑛的关系𝑎𝑛={𝑆1，𝑛=1，𝑆𝑛−𝑆𝑛−1，𝑛≥2．解析法：an＝f(n)𝑆𝑛＝𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)2𝑑等差数列第四部分解析几何圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系两圆的位置关系相离相切相交＜0，或d＞r＝0，或d＝r＞0，或d＜r弦长公式|𝐴𝐵|=2√𝑅2−𝑑2.阿波罗尼斯圆：满足|𝑃𝐴|=𝜆|𝑃𝐵|(𝜆≠1)的𝑃点的轨迹相离、外切𝑑=𝑅+𝑟、相交、内切𝑑=𝑅−𝑟、包含.（𝑅≥𝑟)）倾斜角和斜率直线的方程位置关系直线方程的形式斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化:𝑘=tan𝛼，𝑘=𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1重合平行相交垂直A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1＝0A1B2－A2B1≠0A1A2＋B1B2＝0点斜式：y－y0＝k(x－x0)斜截式：y＝kx＋b两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1截距式：xa＋yb＝1一般式：Ax＋By＋C＝0注意各种形式的转化和运用范围.两直线的交点距离两点间的距离公式|𝑃1𝑃2|=√(𝑥1−𝑥2)2+(𝑦1−𝑦2)2．点到线的距离：d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2，平行线间距离：d＝|C1－C2|A2＋B2截距注意：截距可正、可负，也可为0.A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1≠0平行：𝑘1=𝑘2，𝑏1≠𝑏2垂直：𝑘1∙𝑘2=−1𝑙1:𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0.𝑙2:𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0.𝑙1:𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1.𝑙2:𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2.不等式不等式的性质一元二次不等式简单的线性规划基本不等式：ab≤a＋b2借助二次函数的图象三个二次的关系可行域目标函数z＝ax＋by：构造截距z＝y－bx－a：构造斜率z＝(x－a)2＋(y－b)2：构造距离应用题z的几何意义：z是直线ax＋by－z＝0在x轴上截距的a倍，在y轴上截距的b倍.最值问题变形和定值，积最大；积定值，和最小应用时注意：一正二定三相等2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22z＝(x-a)(y-b)：构造面积z的几何意义：过可行域内一点（𝑥,𝑦）向直线𝑥=𝑎，𝑦=𝑏作垂线，它们围成的矩形面积=|z|比较法绝对值三角不等式|𝑎|−|𝑏|≤|𝑎±𝑏|≤|𝑎|+|𝑏|柯西不等式(𝑎2+𝑏2)(𝑐2+𝑑2)≥(𝑎𝑐+𝑏𝑑)2，𝑎𝑑=𝑏𝑐时等号成立第五部分立体几何对称性问题中心对称轴对称点(x1，y1)───────→关于点(a，b)对称点(2a－x1，2b－y1)曲线f(x，y)=0───────→关于点(a，b)对称曲线f(2a－x，2b－y)=0A·x1＋x22＋B·y1＋y22＋C＝0y2－y1x2－x1·(－AB)＝－1特殊对称轴x±y＋C＝0直接代入法点(x1，y1)与点(x2，y2)关于直线Ax＋By＋C＝0对称曲线与方程轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法圆锥曲线椭圆双曲线抛物线定义及标准方程性质范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）离心率：𝑒=𝑐𝑎=√1±(𝑏𝑎)2.抛物线𝑦2=2𝑝𝑥的焦半径公式：|𝑃𝐹|=𝑥0+𝑝2=𝑝1±cos𝜃空间几何体柱体棱柱圆柱正棱柱、长方体、正方体台体棱台圆台锥体棱锥圆锥球三棱锥、四面体、正四面体直观图：𝑆=2√2𝑆′侧面积、表面积三视图：长对正、高平齐、宽相等体积三视图还原几何体的步骤：1.选一个视图扩充成几何体；2.对照三视图删点补点，再连线外接球球心的定位柱体：𝑉=𝑆ℎ锥体：𝑉=13𝑆ℎ台体：𝑉=13(𝑆+𝑆′+√𝑆𝑆′)ℎ球：𝑉=43𝜋𝑅3点与线空间点、线、面的位置关系点在直线上，或点在直线外点与面点在平面内，或点在平面外线与线共面直线异面直线相交平行没有公共点只有一个公共点线与面平行相交有公共点没有公共点直线在平面外直线在平面内面与面平行相交垂直关系的相互转化证明平行关系的相互转化线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直面面垂直第六部分统计与概率空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围：(0，90]范围：[0，90]范围：[0，180