数学建模-高校教师综合评价

“行健杯”数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了“行健杯”数学建模竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：A参赛队员(打印并签名)：1.赖际亮2.李柯3.孙勇指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期：2015年4月6日评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：“行健杯”数学建模竞赛编号专用页评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：评阅记录（可供评阅时使用）：评阅人评分备注统一编号：评阅编号：基于AHP、熵权法、灰色关联度评价法对高校教师进行综合评价摘要通过对教师考核评价，可以形成有效的人才激励机制，有助于教师改进教学质量。而通过科学、合理的数学模型，处理由调查问卷得到的数据，将极大提高评价的准确性。本次建模，我们经过优选，确定了1、层次分析法2、熵权法3、将层次分析法和熵权法得到的权重，通过合理的运算，得到综合权重的综合权重法4、灰度关联度评价法。对教师进行了综合评价。针对本题中领导评价指标值模糊的问题，通过与合理的隶属度曲线拟合，科学的将等级制度转换为百分制，使得与其他评价指标量纲相同。针对工作量指标量纲与其他指标不统一，而且离散程度较大，对评价结果影响过大的问题，结合生活中的实际情况，发现将工作量指标的值拟合为一条斜率越来越小的曲线较为合理，即初期基本工作量阶段，该指标权重较大，随着工作量越来越多，该值的影响将越来越小。为了减小随意性，本次选取了一条经过统计学验证的曲线进行拟合，既统一了量纲也解决了该问题。通过上述四种评价方式的验证，发现在四次评价中，教师最终得分的排序基本相同，证明以上数据处理的方法较为合理。本次选取的四种建模方法各有不同的特点：一、层此分析模型结合权威专家的判断，确定各指标的权重，并通过分层两两比较的方法减小了人的主观判断的误差，并且数据通过一致性检验公式10.0003852.0RICICR，可以认为确定的权重是可信的，其结果具有科学性，准确性。二、熵权法模型去除了人的主观因素的影响，仅从数据的波动中刷选出波动较大即有筛选价值的指标，给予较大的权重，使得出的结果有筛选价值。三、综合权重模型是本次建模的创新点，通过熵权法确定的权重与结合层次分析模型得出的权重相结合，通过科学运算得出综合权重，即解决了层次分析法中人的主观因素影响较大的问题又解决了熵权法中数据处理的机械性的问题，得出的结果较为合理。四、灰色综合分析法模型通过优选一个最佳的理想样本，求待评教师与该理想样本的相似度，相似度越高的教师则越优秀，客观的对教师进行了评价。关键词：隶属度拟合统一量纲AHP熵权法灰色关联度综合权重1一、问题重述某高校对教师考核有4个指标，它们分别是：学生的评价得分（1x）、领导评价（2x）、教学小组测评得分（3x）和工作量考核（4x）；下表是某教学小组8名教师的考核结果：待评对象（n）1x2x3x4x教师187优-100233.9教师295良98.2192.9教师389良99.1311.1教师482良95.5274.9教师577优97.3263.6教师697优100182.3教师788良91.97220.6教师870良91.97182.0试用多种方法对8名教师进行评价。二、模型假设1，假设题目中的数据都真实可靠2，假设题目给出的数据都有代表性和合理性3，假设各评判人都公正客观。无拉票，乱选等不正常因素4，假设各教师资质，教学科目，工作任务都相同三、符号说明由于本次建模采用了四种模型，故相应的符号说明放在各建模方法的开始，便于查阅四、问题分析本文根据题目给出的各项评价指标及各指标的值，建立数学模型，对八位教师工作教学情况进行科学的评价。模型要求尽可能减少人的因素的影响，并通过一系列数学运算减小误差。本题给出了四项评价指标，对八位教师进行了打分评价，需要科学的确定各评价指标的权重，根据权重对教师进行综合评价。存在的问题：1）领导评价指标的值是模糊值。2）工作效绩的值量纲与其他指标不同，且数据离散程度很大。3）各评价指标在评价过程中所占的权重未定，需要科学的方法计算权重。五、模型的建立和求解题目给出的评价指标如果按相同权重对待，直接相加求和，其结果将缺乏科学性和准确性，故应该通过数学模型确定权重，弱化不重要指标对评价结果的影响。本问题2中存在：1、工作量项的值离散较大，且未统一量纲。本次建模，通过与拟合精选的统计学曲线得到了较为合理的百分制的值。2、领导评价项的值模糊，故需要将等级制转换为百分制，为减小这种转换的的随意性，采用了偏大性柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数，通过与该曲线拟合得到了科学合理的统一量纲的具体值。具体实现：将领导评价项定为十个等级（优+，优，优-，…），以6为基准进行赋值。“优+”为9.5，“优”为9.0，“良”为7.5，以此类推。因为我们需要的是百分制的确定值，且不能直接进行线性转化。故采用偏大型柯西分布和对数函数构造了一个隶属函数105,ln51,])(1[)(12xbxaxxxf（其中、、a、b为待定参数）求解隶属函数当“优+”时，则隶属度为1，即f（10）=1；当“良-”时，则隶属度为0.7；即f（5）=0.7；当“差”时，则隶属度为0.01，即f（1）=0.01；通过MATLAB计算得到=7.8570,=0.7183,a=0.4328,b=0.3422210则105,103422.00.4328lnx51,])7183.0(8570.71[)(212xxxxf画出隶属度函数图象根据这个规律，对于任何一个评价，都可以给出一个合理化的量化值。将等级转化百分制：3等级优+优优-良+良良-中+中中-差分数98.5895.4490.8883.3177.1669.9458.7441.9317.295对于工作量指标，以最大工作量为10分，线性得出其余教师的工作量的分数，带入故采用偏大型柯西分布和对数函数的隶属函数105,103422.00.4328lnx51,])7183.0(8570.71[)(212xxxxf转化后的考核结果表待评对象学生评价领导评价教学小组工作量教师18790.8810087.3150教师29577.1698.278.974教师38977.1699.199.6893教师48277.1695.594.3053教师57795.4497.392.4886教师69795.4410076.5273教师78877.1691.9784.7812教师87077.1691.9776.4566下面三种方法均基于上表数据（一）层次分析法5.1.1符号说明A:表示目标层；B:表示指标层；i：表示评价因素；ij：表示i对j的相对重要性数值；P：表示判断矩阵；max：表示判断矩阵的最大特征值根；：表示最大特征值对应的特征向量；CI：表示判断矩阵的一致性指标；CR:表示判断矩阵的随机一致性比率；RI:表示判断矩阵的平均一致性指标；iT:教师评价指标向量；iR:第i位教师的最终成绩。5.1.2层次分析法简介20世纪80年代，美国T·L·Saaty教授提出一种用于解决多目标、多方案的决策方法——层次分析法。它的基本原理是:根据问题的性质和需要达到的总目标，把4问题分解为不同的组成要素，同时根据各要素之间的相互关联程度和隶属关系，将要素按照不同层次进行组合，从而得到一个多层次的分析结构模型。其中，把决策的备选方案放在最底层，考虑的因素、准则放在中间层，决策的目的、解决的问题放在最高层。本题只提供了四项评价指标，为了便于一致性检验，把四项指标归于一层，则高校教师考核评价模型如下图所示。5.1.3层次分析模型的基本步骤包括：1）建立层次模型如上图所示。用成对比较法，构造判断矩阵，构造判断矩阵的规则如下：表1：标度定义含义1同样重要两元素对某准则同样重要3稍微重要两元素对某准则，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某准则，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某准则，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某准则，一元素比另一元素极端重要2，4，6，8相邻标度中指表示相邻两标度之间折中时的标度倒数反比较元素i对元素j的标度为ija，反之为1/ija（1-9表读法则符合人的认识规律，有一定的科学依据。从人的直接判断能力看在区分事物数量差别时，习惯使用相同、稍强、强、明显强、绝对强等判断语言。根据心理学试验表明，多数人对不同事物在相同准则上的差异，其分辨能力介于5-9级之间，1-9标度反映了多数人的判断能力。Saaty将1-9标度方法和其它标度方法进行对比，大量模拟实验证明，1-9标度是可行的，与其它标度方法比较，能更有效地将思维判断数量化。）表2（RI）:5n1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.511maxnnCIn:判断矩阵的维数；max：判断矩阵的最大特征值；（C.I越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。判断矩阵的阶数m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大，反之偏离一致性越小。当阶数m小于等于2时，C.I=0判断具有完全一致性，因此引入平均随即一致性指标R.I,并且一致性指标与其比较，得一致比率：RICICRRI：随机一次性指标，根据n的取值查表。）如果一致性检验指标CR＜0.10，则认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。我们依据判断矩阵可以采用算术平均法(求和法)计算出同一层次各元素所占的权重。2）根据表1读法则对指标层进行两两比较，得到四个比值iu/1u,iu/2u,iu/3u,iu/4u(i=1,2,3,4),构成一个4行4列的判断四个因素重要的判断矩阵P。44342414433323134232221241312111/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/uuuuuuuuuuuuuuuuuP设计四个因素所组成的向量Tuuuuw4321432144342414433323134232221241312111/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/u/uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuWP1/u/u/u/u1/u/u/u/u1/u/u/u/u134241443231342321241312144434241343332312423222114131211uuuuuuuuuuuuaaaaaaaaaaaaaaaaP元素ija0(正矩阵),I,j=1,2,3,4并且满足下列两个条件:（1）ija=1；6（2）ija=jia1且此矩阵为互反矩阵5.1.4模型计算通过查阅资料及问卷调查判断，如下表所示：学生评价领导评价教学小组测评工作量学生评价1323领导评价1/311/22教学小组测评1/2212工作量1/311/21则得出：12/113/12122/122/113/12321P根据互反矩阵A计算特征值和特征向量，运用MATLAB和归一化0104.4max1411.02630.01411.04547.0W3）验证P的一致性，查表2得RI（4）=0.8910.0003467.01maxnnCI10.0003852.0RICICR此矩阵的一致性可以接受4）得出考核评价权重表：学生评价领导