刹车问题数学建模

关于刹车问题数学建模摘要理论上来说：当汽车刹车轮胎抱死时，汽车刹车距离与质量无因为从能量守恒可以得到摩擦力对物体做的功等于物体动能的变化量：Fns=1/2mu(平方）其中F是车对地面的压力，n是车跟地面的摩擦系数，s是刹车距离，m是车的质量，u是车的速度，其中车对地面的压力等于车的重力F=mg，所以得到mgns=1/2mu(平方）s=u(平方）/2gn所以理论上来说：当汽车轮刹车胎抱死时，汽车刹车距离与质量无关而现实生活中往往车载货越多，刹车距离就越长。因此，我们对汽车的刹车问题建立数学模型进行探究。关键词距离质量速度压力重力车胎抱死载货质量一、问题重述据统计，全世界每天发生的车祸高达上千次，轻则造成一大批伤者，重则夺取数百条人命。因此，如何制定汽车行驶的法规，尽量减少交通事故的出现，成为各国政府最关心的问题之一。为此，最切实可行的而且最有效的办法是：通过对汽车刹车距离的研究，定下两车行驶的间隔距离。下面是一份来自美国某高速公路关于刹车距离的数据统计表。速度（mph）反应距离（ft）刹车距离（ft）总刹车距离（ft）202218-2240-44252825-3153-59303336-4569-78353947-5886-97404464-80108-124455082-103132-1535055105-131160-1865561132-165193-2266066162-202228-2686572192-245268-3177077237-295314-3727583283-353366-4368088334-418422-506（注：上述数据表中的单位是国外度量单位，mph在美国代表英里每小时，在国内代表公里每小时；ft在美国代表英尺，在国内基本上不用这一单位；sec或s在国际上都代表秒。为方便数据处理，仍按照给定的度量单位形式进行计算。）分析数据，然后依次考虑以下问题：（1）建立总刹车距离与汽车行驶速度的关系式。（2）目前，有两种汽车行驶间隔的建议：一种认为速度每提高10mph，汽车的间隔就要提高15ft。另一种认为，汽车的间隔只需要保持在以汽车现时速度行驶2秒的距离以内。试用（1）所建立的数学模型来研究上述两种建议的可行性。（3）能否给出不同速度下汽车行驶间隔建议。二、模型准备1、刹车距离与车速有关；2、刹车距离由反应距离和制动距离两部分组成，前者指从司机决定刹车到制动器开始起作用汽车行驶距离，后者指从制动器开始起作用到汽车完全停止行驶距离。3、反应距离又反应时间和成酥决定，反应时间取决于司机个人状况和制动系统的灵敏性，对于一般规则可使反应时间为常数，且在这段时间内车速尚未改变4、制动力在一般规则下又可看作是固定的。5、汽车的刹车距离有反应距离和刹车距离两部分组成，反应距离指的是司机看到需要刹车的情况到汽车制动器开始起作用汽车行使的距离，刹车距离指的是制动器开始起作用到汽车完全停止的距离。6、反应距离有反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况（灵敏、机警等）和制动系统的灵敏性，由于很难对反应时间进行区别，因此，通常认为反应时间为常数，而且在这段时间内车速不不变。7、刹车距离与制动作用力、车重、车速以及路面状况等因素有关系。有能量守恒制动力所做的功被汽车动能的改变所抵消。设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与汽车的质量成正比，汽车的减速度基本上是常数。8、路面状况可认为是固定的。三、模型假设1、刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和；2、反应距离d1与车速v成正比，比例系数为反应时间t1;3、刹车时间用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比。四、模型建立及求解1、由假设2vtd11（1）2、由假设32221mvFd而F=ma,则2221vad其中a为刹车减速度，是常数，则：22kvd（2）3、则刹车距离与速度的模型为d=tv+k1v其中1t根据经验取0.75秒，先利用实际数据来确定k表1车速与刹车距离速度（mph）速度（英尺/秒）反应距离（ft）刹车距离（ft）总刹车距离（ft）刹车时间（s）2029.342218-2240-440.749832536.6752825-3153-591.60873044.013336-4569-781.0023551.3453947-5886-9742.9624058.684464-80108-1241.3634566.0155082-103132-1531.56025073.3555105-131160-1861.785955580.68561132-165193-2262.0456088.0266162-202228-2682.2956595.35572192-245268-3172.569370102.6977237-295314-3722.87375110.02583283-353366-4363.20880117.3688334-418422-5063.562则刹车距离与速度关系为:表1中第4列为计算的刹车距离,第5列是采用最大刹车距离时的刹车时间。由(4)还可以得到刹车时间与车速关系:t=0.75v+0.0255v(5)（符号说明：t-反应时间、d-总刹车距离、d1--反应距离、d2—刹车距离、V—车速、F—制动力、m—车的质量）图1刹车距离(*)与总刹车距离(实线)比较表2修正后t秒规则车速(英里/小时)0~100~100~100~10t(秒)1234列数据有第及第由32)7,,2,1(,75.02ikvvdiii0255.0).75.0(714712iiiiiivvvdk)4(0255.075.02vvd五、建模优化行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离后才会停下，这段距离就叫刹车距离。研究刹车距离对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用。六、进一步讨论与分析1、汽车的“刹车”，其机理是控制轴承的转动，这样就让汽车轮子只能滑动或者说平动。当然，在实际情况中，有时只是“部分刹住”了，部分刹住时，轮子除滑动外还有滚动，这时形成的“刹车距离”与“刹车”的力度密切相关。2、刹车距离s与哪些主要因素有关呢？显然与刹车时的速度、车子的质量、路面状况以及空气阻力有直接关系。车速越大，惯性就越大，刹车距离就越远；车子的质量越大，刹车距离也越远；路况越好，越光滑，刹车距离也越远。例如火车刹车后就较难停住，往往要滑行好远。天雨、下雪结冰时，汽车刹车后刹车距离也较长。所以汽车在行进时遇到弯道，车多时、天雨路滑时一般要慢行，控制速度，缩短刹车距离，减少交通事故。3、速度为v的汽车刹车“完全刹住”后，假设是在理想的光滑、水平的直行路面上，根据牛顿第一定律可知中它将一直保持速度v进行下去，永不会停止。在实际路面上之所以行进s后要停下来主要是在水平方向受到了与运动方向相反的摩擦力的作用。（在竖直方向，受到重力及支撑力达到平衡）。根据牛顿第二定律有f=ma,（f为合摩擦力，m为质量，a为加速度），又可把刹车后运动过程看成匀减速运动，所以，02-v2=2as,消去a有s=-(f0,a0).4、在实际情况下，当某种车型、某种路面确定时，刹车距离s与车速v的关系可近似抽象为二次函数s=mv+nv2.对于某种车型的车，也可实际测定刹车距离s与速度v的函数关系。七、建模应用扩展例1：刹车距离是分析事故的一个重要因素。在一个限速40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是碰了。事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12米，乙车刹车距离略超过10米，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(米)与车速x(千米/小时)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2s乙=0.05x+0.005x2问超速行驶应负主要责任的是谁.分析：要弄清主要责任者，就需分析行驶速度，要弄清速度问题，就要运用刹车距离函数和实测数据，构建一元二次不等式。略解：由题意列出不等式s甲=0.1x+0.01x212s乙=0.05x+0.005x210这是常见的一元二次不等式，分别求解，得x-40或x30x-50或x40由于x0，从而可得，x甲30千米/小时，x乙40千米/小时。经比较知乙车超过限速，应负主要责任。注：解实际应用题首先要正确理解题意，恰当地进行数学化设计，化归为课本中的标准化模型加以解决。例2：已知汽车从刹车到停车所滑行的距离(米)与时速(千米/小时)的平方及汽车总重量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50千米行驶时,从刹车到停车走了20米,如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20米处有障碍物,这时为了能在离障碍物5米以外处停车,最大限制时速应是多少(答案只要保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1秒钟)?分析：设从刹车到停车滑行距离为s米，时速为v千米/小时，卡车总重量为t,根据题意得s=k·v2·t0(k为比例系数)略解：设卡车空载时的总重量为t0,则20=k·502·t0设卡车限速为x千米/小时(x0)，则20-5-x≥2kt0x2,消去kt0，化简得，-15≤0即2·18x2+5·125x-15·18·125≤0由题意，其解（舍去小数部分）为0x≤23，故最大限制速度为23千米/小时。注：1、在数学建模的过程中我们所处理的变量、参数及常数往往都是带单位的量。对于测量值的单位必须给予足够重视，不可掉以轻心。必要时还要进行量纲分析。2、此题建模后，在对一元二次不等式这个模型求解时，涉及到较大数据的处理。学会数据分析和处理的方法有时是很必要的。八、模型评价根据以上计算验证，模型基本能指导低速、低载重的汽车。当车速不超过104.6千米/小时，实际值只是微差、当车速再快时实际值就会大于理论值。刹车距离的模型2kvd的模型假设知识和低速、到高速是、可能由于车子的轴承的高速运转产生热量，摩擦力有所改变。或者、速度越高车身、车轮与空气、地面的摩擦力有所变化而致。种种因素考虑还不周全，所以模型还有待进一步优化。参考文献1、数学模型：杨启帆浙江大学出版社2、数学建模：原理与方法蔡锁章主编北京：海洋出版社，20003、数学建模竞赛赛题简析与论文点评：西安交大近年参赛论文选编赫孝良等[选编]西安：西安交通大学出版社，20024、数学建模刹车问题：百度文库5、刹车建模：、刹车数学模：ttp://wenda.tianya.cn/wenda/thread?tid=515792e1527a0469