保险费的制定问题

保险费的制定问题摘要本文以汽车保险相关知识为基础，建立动态优化模型解决了实施新的安全法规之后，保险费数额是否可以降低和今后5年内合理的保险费制定两个问题。根据题目数据，得出了公司的盈亏平衡点和今后五年总利润最大化点。对于问题一，运用动态规划的建模理论，根据各类型参保人数之间的转换关系，得到收入和支出的表达式，建立了收支平衡方程，计算出了盈亏平衡点，得出了在新法规实施后保险费的数额可以减少的结论。对于问题二，在问题一的基础上，站在保险公司的立场考虑，建立了五年总利润最大的优化模型，求出了在新的安全法规实施之后5年内使保险公司利润最大化的每年的保险费。结果如以下两表：盈亏平衡点年份保险费12345医疗费降低20%640.11642.22642.22651657医疗费降低40%583.17586589593598利润最大点年份保险费12345医疗费降低20%8001023130016001615医疗费降低40%9501142140015001602在模型评价中，对模型的优缺点进行了详细分析，在模型的改进中，从社会和公司两个角度出发，将盈亏平衡和利润最大化结合起来，建立了满意度模型，较符合实际情况。关键词：基本保险费利益最大化优化模型利润最大化满意度一、问题重述1.1问题背景某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内,若客户没有要求赔偿，则给予额外补助。所有参保人被分为0,1,2,3四类。类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费时,新客户属于0类，在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为,医疗费会减少20%到40%。1.2目标任务问题一：按政府预期，医药费将有所下降，从而期望减少保险费的数额。这样的结果果真会出现吗？这是保险公司目前最关心的问题。保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题,并以题中所给数据为例，验证你的方法。问题二：按照你的模型给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。二、模型的假设1.客户退出保险，不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。2.保险公司的固定支出是不变的。3.影响退保人数的因素之间是相互独立的，本文中仅考虑价格因素。4.汽车保险公司死亡保险赔偿只指死亡司机赔偿；死亡司机人数与索赔人数比例不变。5.每年的新投保人数按等比例增长。6.颁布了法规的情况下，死亡司机的人数相比没有颁布法规时减少40％。7.保险公司的赔偿政策不发生变化，平均死亡赔偿费，平均偿还退回费，平均修理费，平均医疗费不随时间变化。8.保险费的数额越大，退保的客户数越多。三、符号说明符号意义,Xij第i类投保人第j年的人数()Qj第j年的总收入()Gj第j年偿还退回费()Sj第j年总的医疗费()Tj第j年总的死亡赔偿费()Rj第j年总的汽车修理费()Vj第j年保险公司的利润ib第i类投保人没有索赔时的补贴比例Pj投保人第j年的保险费数额保单有效率q客户退出保险时被退的保险金占所缴纳保险金的平均比例i第i类投保人自然退出保险的人数的比例i第i类投保人发生交通事故人数的比例i第i类投保人发生交通事故死亡人数的比例ir第i类投保人发生交通事故的平均维修费is第i类投保人发生交通事故的平均医疗费it第i类投保人发生交通事故死亡的平均死亡赔偿费()nj第j年新投保的人数四、模型的建立与求解4.1问题的分析针对问题一，按照题中所给信息，新的安全法规实施之后，交通事故所造成的医疗费用会有所下降。实际上问题一可转化为：当交通事故死亡率和医疗费下降时，若保险公司减少保险费的数额，其自身的收益是否会减少。若在新的安全法规实施之后，经计算基本保险费变少，则说明保险公司可以减小其保险费的数额。对于问题二，欲给出公司今后5年每年合理的保险费的数额：对于公司而言其自然是期望获得的利润是最大的；但对于政府和民众来说保险费越少越好。本文建立模型求出了两种背景下，今后5年保险公司应收取的保险费。4.2保险公司收入、支出与利润的模型的建立4.2.1每年各类型人数的确立对于本问题，由于第二年与第一年各类型人数之间按照一定的概率进行的，且第二年的状态只取决于第一年的状态和转移矩阵，与以前的状态无关，因而具有马尔可夫（Markov）性。因而每年各类型人数的计算就可以利用马氏链模型进行求解。下图为(,)Xij之间的相互转换关系。各类别的转换必须遵循以下准则：1.新客户属于0类；2.在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。(0,)Xj(2,)Xj(3,)Xj(1,)Xj新投保人提高类别提高类别提高类别降低类别保持类别图1：各类投保人人数之间的转换关系记j为当前年，1j为下一年，则有根据图1有如下状态转移公式：0011122200333112233(0,1)(1)(1)(0,)((1)(1)(1,)(1)(1)(2,))(1,1)(1)(0,)(1)(1)(3,)(2,1)(1)(1,)(3,1)(1)(2,)(1)(3,)XjnjXjXjXjXjXjXjXjXjXjXjXj(1)4.2.1每年各类费用的计算记()Qj为第j年保险公司的总收入，则有30()(1),iiQjbXijPj(2)对于一个,Xij群体，在第j年里不论是自然的还是事故死亡引起的都会有部分人退出保险，故保险公司需对这部分人退还保险金的适当部分，记为()Rj，则30()(,)iiiiGjqPjXij(3)事故发生后，保险公司对客户的赔偿费包括三个部分：医疗费、死亡赔偿费和汽车修理费。其中医疗费记为()Sj，且30()(1)(,)iiiiSjXijs（4）死亡赔偿费记为()Tj，且30()(,)iiiiTjXijt（5）汽车修理费记为()Rj，且30()(,)iiiRjXijr（6）记保险公司在第j年的总利润为()Vj，则有：()()()()()()()VjQjGjSjTjRjZj（7）4.3模型中参数和数据的确定和处理根据题目中所提供的数据，结合各参数的实际意义，可确定模型中各参数的值。在题目表1中，由没有索赔时对各类别投保人的补贴比例可确定ib的值，如下表所示：表1：ib的值i0123ib（%）0254050欲求客户退出保险时平均退还的保险金占所缴纳保险金的比例q，可用表中数据进行计算，并设定其值保持不变，计算方法如下：23.5%q总偿还退回金额总退保人数基本保险费对与第i类投保人交通事故死亡人数占相应类投保人数的比例i，直接由题目中表2可得出：表2：i的值i0123i0.01990.040.01980.01对于第i类投保人发生交通事故人数的比例i，可由题中表2的索赔人数与总的投保人数的比值来确定，结果如下表所示：表3：i的值i0123i0.3536840.3335620.1014310.080865对于平均修理费ir、平均医疗费is，均可用题中表2数据直接读得如下表所示：表4：iisr的值i0123ir（元）10201223947805i0123is（元）15261231823814对于第i类投保人发生交通事故死亡的人平均每人的死亡赔偿费it，可由下面计算方法得到，结果如下表5所示：总索赔费总医疗费总修理费总死亡人数it表5：it的值i0123it（元）33984.6889837005.6950960015.2107370971.15728在i与i已知的情况下，又客户退保的原因包含自然退保与死亡退保，此时由于事故而死亡的人数比例为ii可求，故可计算第i类投保人自然退出保险的人数的比i由总退保人数总投保人数iii，计算结果如下表6所示:表6：i的值i0123i0.00401290.00282040.0101250.0365863这里我们实际考虑随着保险费()Pj的变化，i的值亦会发生变化。这里当保险费的数额较小时，按常理，选择退保的人数亦会比较少，即i的值会比较小，当保险费较大时，选择退保的人数会增加，且速率会逐渐增加。当保险费的数额超过某一值时，我们即可假定所有投保客户都会因为对保险公司不满而选择退保，即1i。本文假定，当()2000Pj时，1i，又当()775Pj时，i的值已有表6给出。在相关文献中，我们查到i与()Pj在一定范围内满足指数关系，即：(()2000)0()2000()12000()ikPjiePjjPj（8）在这两个约束条件下我们可计算得：表7：各类别投保人所对应的系数ik类别i0123ik0.00450.00480.00380.0027运用Matlab可作出各类别的i与()Pj的关系如下图2所示：图2：()ij与()Pj的函数关系图由上图可以看出，当()2000Pj时，(())1iPj，同时，当()Pj值较小时，随()Pj的增大客户的退保率增大并不明显，而当()Pj较大时，随着()Pj的增大客户的退保率明显有较大增幅。这说明当保险费的数额超过人们的接受范围时，人们就会更易于因保险费的数额的增大而选择退保，这是与实际情形相符合的，说明我们的模型是合理的。对于第j年新收到保险单的人数()nj，根据统计规律这里我们假定有：(1)1.1()njnj（9）针对题目中给出的数据，存在两个问题，其一题目表1中第1类新投保人数为一，这是不符合各类别的转换规则的，我们将其改为0；其二根据题目表一给出的数据，我们算得总收入应为6247百万元，与题目所给出的6182不符，因此我们引入保单有效率，很容易计算得到0.9894，修正后本年的投保人数为下表：类别0123投保人数1647675.5231746190.1114222486672014.4问题的求解4.4.1收支平衡时的求解在题中所提供的数据中，保险公司所确定的基本保险费为775元，根据4.2中模型本文建立求解第j年收入支出的方法和保险公司的收入与总支出相等得出：()()()()()()0QjGjSjTjRjZj（10）按题中所给信息，新的安全法规实施以后，死亡的司机会减少40%，医疗费会减少20%到40%。这里取新的安全法规实施以后，交通事故中人的死亡率减少40%，此时取医疗费分别减少20%与40%进行计算基本保险费受到的影响。针对以下两种情况进行计算，''''(10.4)(10.4)12(10.2)(10.4)iiiiiiiissss联立公式（1）、（10），由4.3中计算得到的各参数值，可计算得到在两种情况下今后5年内基本保险费的数额如下表7所示：表7：两种情况下5年内的基本保险费j12345情况1下的基本保险费（元）640.11642.22642.22651657情况2下的基本保险费（元）583.17586589593598由于空间限制，各个年份的各个量的值见附录。由上表易发现，在第二种情况下，基本保险费的数额要比第一种情况下小。这说明医疗费减少的越多，基本保险费的数额就越小。同时无论是情况1或是情况2，其基本保险费的数额都低于775元，即比在新的安全法规实施之前要少，故保险公司完全可以在不亏损的情况下减少保险费的数额。这就给出了问题一的合理答案。另由表7结果，即可确定在今后5年内医疗费分别减少2