Jacobi迭代法求解线性方程组实验报告

仿真平台与工具应用实践Jacobi迭代法求解线性方程组实验报告院系：专业班级：姓名：学号：指导老师：一、实验目的熟悉Jacobi迭代法原理；学习使用Jacobi迭代法求解线性方程组；编程实现该方法；二、实验内容应用Jacobi迭代法解如下线性方程组：1552218474321321321xxxxxxxxx，要求计算精度为710三、实验过程（1）、算法理论Jacobi迭代格式的引出是依据迭代法的基本思想：构造一个向量系列nX，使其收敛至某个极限*X，则*X就是要求的方程组的准确解。Jacobi迭代将方程组：nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)1(在假设0iia，改写成nnnnnnnnnnngxbxbxbxgxbxbxbxgxbxbxbx112211223231212113132121)2(如果引用系数矩阵nnnnaaaaA1111，0011nnbbB及向量nxxX1，nbbb1，nggg1，方程组（1）和（2）分别可写为：bAX及gBXX，这样就得到了jacobi迭代格式01gBXXkk用jacobi迭代解方程组bAX时，就可任意取初值0X带入迭代可知式gBXXkk1，然后求kkXlim。但是，n比较大的时候，写方程组)1(和)2(是很麻烦的，如果直接由A，b能直接得到B，g就是矩阵与向量的运算了，那么如何得到B，g呢？实际上，如果引进非奇异对角矩阵0iiannaaD00011将A分解成：,DDAA要求bAX的解，实质上就有,)(DXXDAAX而D是非奇异的，所以1D存在，,)(XADAXDX从而有,11bDAXDX我们在这里不妨令,1ADIBbDg1就得到jacobi迭代格式：gBXXkk1（2）算法框图开始读入[][][],bAx=P=(0,0,0)x=Bx’+g输出结束调用jacobi（）（3）、算法程序m文件：functionx=jacobi(A,b,P,delta,n)N=length(b);%返回矩阵b的最大长度fork=1:nforj=1:Nx(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:N])*P([1:j-1,j+1:N]))/A(j,j);enderr=abs(norm(x'-P));%求（x'-P）模的绝对值P=x';if(errdelta)%判断是否符合精度要求break;endendE=eye(N,N);%产生N行N列矩阵D=diag(diag(A));f=A*inv(D);%f是A乘D的逆矩阵B=E-f;Px=x';k,errBMATLAB代码：clearallA=[4，-1，1;4，-8，1;-2，1，5];b=[7，-21，15]';P=[0,0,0]';x=jacobi(A,b,P,1e-7,20)（4）、算法实现用jacobi迭代法求解方程组：1552218474333231232221131211xxxxxxxxx正常计算结果是2，3，4，下面是程序输出结果：P=2.00004.00003.0000k=17err=9.3859e-008B=0-0.1250-0.2000-1.00000-0.20000.50000.12500x=2.00004.00003.0000四、实验体会MATLAB是非常实用的软件，能够避免大量计算，简化我们的工作，带来便捷。通过本次试验，我了解了MATLAB软件，提高了解决实际问题的能力。五、参考文献《科学计算与数学建模实验报告_Jacobi迭代法求解线性方程组》