5第三章稳态导热2(2013)-177204970

第三章稳态导热Steady-stateConduction1第三章作业（2）10、11、1223-2多维稳态导热的分离变量解法一、概述可以证明，当域的边界为正则的，即边界面与正交坐标系的坐标平面相符时，导热方程可以解析求解。1、分离变量解法的思路(1)假定温度分布是所含的n个自变量的单元函数的乘积，可将导热方程分解为n个相应单元函数（分离函数）的常微分方程；(2)引进n-1个分离常数，求特征值，求解由n个分离函数组成的n个常微分方程；(3)叠加，用一个非其次边界条件确定其中的常数，得到原导热问题的解。3一、概述2、多个非齐次边界条件的处理只含有一个非齐次边界条件的定解问题，才能直接用分离变量法求解。当存在多于1个非齐次边界条件时，按下述方法处理。21()()0()1,2,Viiiitrqrthtfrimx在边界i上一般多维稳态导热问题的数学描述()ifr为非其次项4一、概述可分解为一组比较简单的问题，即：2001()()0jjVtrqr在边界Ai上00()jiijijiithtfrn式中，1,2,,0,1,2,,1()0()ijimjmijijKronecker符号包含m+1个稳态导热问题，其中属于t00的一个包含了qV(r)，但全部边界条件为齐次的；其余m个均不含内热源，且只有一个非齐次边界条件。5一、概述00()()mjjtrtr200jt()jiijijiithtfrn经上述分解，所有m+1个问题均可由分离变量法求解，而原导热问题的解是这些子问题解的叠加：当不含内热源，即qV=0时，可简化为：在边界Ai上1()()mjjtrtr则导热问题的解为不失一般性，以二维问题为例讨论。6二、无内热源的二维稳态导热已知：一厚度为的无内热源矩形薄板，厚度方向上绝缘，其余4个表面为第一类边界条件，求温度分布。该二维导热问题的数学模型为：2222121200()()0()()ttxyxtgyxatgyytfxybtfx7二、无内热源的二维稳态导热1、将导热问题化解为4个简单的子问题,每个子问题含一个非齐次边界条件：221122111110(0,0)00;0;00()ttxaybxyxtxatytftxyb222222222220(0,0)00)0(0;0;ttxaybxyxtxatyybfxtt8二、无内热源的二维稳态导热322332233310(0,0)0;000()0;tttxaybxyxxatytybgyt224422444240(0,0)0()0;00;0xatttxaybxyxtytyybgt分别求解每个子问题，最后叠加求得原问题的解。9二、无内热源的二维稳态导热2、以第二子问题为例求解222222222220(0,0)00)0(0;0;ttxaybxyxtxatyybfxtt2(,)()()txyXxYy假设温度分布由下式表示，分离变量进行求解，设102222211XYxxyy二、无内热源的二维稳态导热y=b对应非齐次边界条件，且为x的函数，分离常数2应为负值，使分离解X(x)成为特征值问题，即222()()00()0dYyYydyyYy222()()00()0()0dXxXxdxxXxxaXx（1）（2）其中，常微分方程（1）的解为：(,)()mmYyshy11二、无内热源的二维稳态导热求解常微分方程（2），得该特征问题的特征函数为：(,)sin()mmXyx特征值为sin(ma)=0的正根，即,1,2,3,mmma由此得第二个子问题的基本解为：2(,)(,)(,)mmtxyXxYy由于特征值有无穷多个，将基本解叠加即可求导热问题的通解：21(,)sinmmmmtxyshyxaca12关于确定cm写作一般形式：1()(,)0(1)mmmfxXxxcL由特征函数的正交性00(,)(,)(2)()LmnmmnXxXxdxNmn式中，N(m)称为范化积分（或范数，Norm），定义为：20()(,)LmmNXxdx式(1)两端同乘以算子0(,)LmXxdx，有01(,)()()LmmmcXxfxdxN13二、无内热源的二维稳态导热22012(,)sinsin'(')'ammshymmatxyxxfxdxmaaashba由非齐次边界条件y=b时，t2=f2(x)确定系数cm，可得子问题2的解：3、求其他3个子问题的解，最后叠加求得原导热问题的解：41(,)(,)iitxytxy14三、有内热源的二维稳态导热有内热源时，导热微分方程为非齐次方程。基于上述无内热源问题的求解，只需讨论含内热源导热方程在齐次边界条件下的解。含内热源的导热微分方程为：2(,)0Vqtxy由数理方程的理论知，该方程的解由两部分组成(,)(,)(,)txyTxypxyqV=0的齐次解任一特解，取决于qV的具体形式15三、有内热源的二维稳态导热内热源与特解的形式16三、有内热源的二维稳态导热例3-2如图所示薄板稳态导热问题，已知内热源发热率为常数。板厚度方向两表面均绝热，其余边界条件如图所示，确定平板内的温度分布。解：问题的数学描述为：220220(0,)(0,)000000qttxaybxyttxxaHtxxttyybHtyy/Hh17三、有内热源的二维稳态导热由题意，特解为：20(,)2qxpxy令20(,)(,)2qxtxyTxyA引入待定常数A，目的在于简化变换后的边界条件。将上式代入原方程得：2200200(0,)(0,)00()200()2TxaybqaqaTTxxaHTHAxxHqxTTyybHTHAyy18三、有内热源的二维稳态导热选择常数，令：2002qaqaAH则x=a处的边界条件将齐次化，定解问题简化为：只有y=b的边界条件为非齐次的，可直接分离变量求解，最后可解得：2200(,)(,)()2qqatxyTxyaxH2200020(0,)(()220,)00000TxaybTTxxaHqxqaqaTybHTHyHTxxTyy19四、变导热系数的二维稳态导热设材料的导热系数为：0(1)t此类材料的二维稳态导热，一般引入Kirchhoff坐标变换，将方程线性化后求解。例3-3如图所示薄板稳态导热问题，已知导热系数为温度的线性函数，边界条件如图所示，试确定平板内的温度分布。解：此问题的导热方程为：0ttxxyy20四、变导热系数的二维稳态导热引入无量纲参数，将方程变换无量纲形式，令：;;;mmtxyttLL(1)(1)0边界条件为：,sin(0)在其余边界条上：021四、变导热系数的二维稳态导热Kirchhoff变换，定义：20012Td可将微分方程定解问题转化为2222201sinsin20TTTT其他表面注意：T为按定义，与、有关的温标，不是热力学温标。22四、变导热系数的二维稳态导热所得到的定解问题，方程为齐次微分方程，且只有一个非线性边界条件。可分离变量求解。可进一步将所得到的定解问题分为两部分：22222222201sin20TTTT其余22112210sin0TTTT其余12(,)(,)(,)TTT23四、变导热系数的二维稳态导热可解得：1(,)sinshTsh221sin(21)(21)121(,)21(21)4(21)nmshmmTmmshm12(,)(,)(,)TTT由20012Td可得：1/21(12)1T24五、圆柱坐标系中的二维稳态导热无内热源时、常物性的圆柱坐标下二维稳态导热微分方程为：22222110tttrrrrrz此方程可假定(,,)()()()trzRrZz，分离变量求解圆柱坐标系中的二维稳态导热有三种情况：t=f1(r，)；t=f2(r，z)；t=f3(，z)。第三种，即t=f3(，z)，无实际意义，故只需分析前两种情形。251、变量为(r,)的二维稳态导热如图所示的实心圆柱二维稳态导热，数学模型为：22200110002();ttrrrrrrrthrrHtfHr1()hconsttf意味着圆柱侧面与周围流体进行对流换热时，相应的对流换热条件为：261、变量为(r,)的二维稳态导热设(,)()()trRr，分离变量求解220d该式的基本解为：(,):sin();cos()22210dRdRRrrrr其基本解为：12;0(,):ln0rrRrccr当r=0时，t应为有限值，、无意义，因此原导热问题的基本解为：rlnr(,)(,)sin()cos()RrAB271、变量为(r,)的二维稳态导热由于(,)(,2)trtr，为周期函数，应取为整数值：0,1,2,将所有解叠加即为温度分布的通解0(,)sin()cos()(1)trrAB代入非齐次边界条件得100()()sin()cos()frHrAB上式为f()的Fourier级数，因此有21001()(')sin(')'()0,1,2,3,rHrAfda281、变量为(r,)的二维稳态导热21001()(')cos(')'()0,1,2,3,rHrBfdb将式(a)、(b)代入式(1)，有200001(,)(')cos(')'rrtrfdkrHr式中，2011,2,3,k当当292、变量为(r,z)的二维稳态导热如图所示的实心圆柱二维稳态导热，数学模型为：200200100;00,0()0ttrrrzzrrrzthrrHtHrztfrzzt即圆柱上下底面温度分别为0与f(r)；圆柱周边为对流换热边界条件，温度为0。302、变量为(r,z)的二维稳态导热求解温度分布：z=0处为第一类非齐次边界条件，取分离方程为220201000dRdRRrrdrrdrdRHRrrdr22020000dZZzzdzZzz可解得通解为：00(,)()(,)(1)mmmmtrzAshzzRr312、变量为(r,z)的二维稳态导热代入非齐次边界条件得00()s()(,)mmmfrAhzRr根据正交函数的性质，式中的Am可由下式确定：0001s()(,)()()rmmmmAhzRrfrdrN代入式(1)，可得：0000()1(,)