平面向量坐标表

2020/4/19研修班1平面向量的坐标表示学校：江苏省洪泽中学教师：傅启峰2020/4/19研修班2复习1、平面向量基本定理的内容是什么？2、什么是平面向量的基底？2020/4/19研修班3平面向量的基本定理:向量的基底:不共线的平面向量e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基底.如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使得a=λ1e1+λ2e22020/4/19研修班41．在平面内有点A和点B，向量怎样表示？ABOxyija思考1:AB任一向量a，用这组基底能不能表示?2.分别与x轴、y轴方向相同的两单位向量i、j能否作为平面向量的基底?2020/4/19研修班5ABCDoxyij思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设，填空：,OAiOBj（1）||_____,||______,||______;ijOC（2）若用来表示，则：,ij,OCOD________,_________.OCOD34ij57ij1153547（3）向量能否由表示出来？CD,ij23CDij2020/4/19研修班6探索1:以O为起点，P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？oPxya2020/4/19研修班74321-1-2-3-2246ij），（23P32(3,2)OPijO2020/4/19研修班84321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiyjxy向量的坐标表示O向量P（x，y）一一对应OP2020/4/19研修班9在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?探索2:Aoxyaa可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处.解决方案:2020/4/19研修班10OxyAijaxy+axiyj+OAxiyj2020/4/19研修班11ABCDoxyija平面向量的坐标表示如图，是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为基底，则,ij,ijxy对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，可使ax=i+yj这里，我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作a(,)axy①其中，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示。aa2020/4/19研修班121、把a=xi+yj称为向量基底形式.2、把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标,记为：a=(x,y),称其为向量的坐标形式.3、a=xi+yj=(x,y)4、其中x、y叫做a在X、Y轴上的坐标.单位向量i=（1，0），j=（0，1）2020/4/19研修班13OxyijaA(x,y)a若a以为起点,两者相同向量a坐标（x，y）一一对应思考:3．两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？1．以原点O为起点作，点A的位置由谁确定?aOA由a唯一确定2．点A的坐标与向量a的坐标的关系？2121yyxxba且2020/4/19研修班14CO　　例1　如图，已知A(-1,3),B(1,-3)，C(4,1)，D(3,4)，求向量OA,OB,AO,OD,的坐标。xyBDCOA2020/4/19研修班15变形:如图，分别用基底，表示向量、、、，并求出它们的坐标。ijabcdAA1A2解：如图可知1223aAAAAij(2,3)a同理b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).2020/4/19研修班16思考：已知你能得出的坐标吗？1122(,),(,)axybxy,,ababa平面向量的坐标运算：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标2020/4/19研修班17探究3a＋byxoabx1x2x1+x2y1y2y1+y2已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)向量的加法：2020/4/19研修班18a－boyxx1x2y1y2abx1－x2y1－y2已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2)已知a=(x,y)和实数λ，则λa=（λx,λy）向量的减法：同理可得数乘向量的坐标运算2020/4/19研修班19),(),(),(),(),,(11212121212211yxayyxxbayyxxbayxbyxa则：向量的坐标运算法则2020/4/19研修班20练习:已知求的坐标。(2,1),(3,4)ab,,34ababab2020/4/19研修班21例2.如图，已知求的坐标。1122(,),(,)AxyBxyABxyOBA解：ABOBOA2211(,)(,)xyxy2121(,)xxyy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。这是一个重要结论！2020/4/19研修班22例3.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法１：设点D的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCxyxyABDC且(1,2)(3,4)xy1324xy解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）2020/4/19研修班23例3.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法2：由平行四边形法则可得(2(1),13)(3(1),43)(3,1)BDBABC而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD所以顶点D的坐标为（2，2）2020/4/19研修班24变形:如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求第四个顶点的坐标。xyO(-2,1)·(-1,3)·(3,4)·2020/4/19研修班25课堂小结:2加、减法法则.a+b=(x2,y2)+(x1,y1)=(x2+x1,y2+y1)3实数与向量积的运算法则：λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj4向量坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2)1向量坐标定义.则=(x2-x1,y2–y1)ABa-b=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1)