材料力学(I)第四章

材料力学Ⅰ电子教案1第四章弯曲应力§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图§4-3平面刚架和曲杆的内力图(选讲)§4-4梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件§4-6梁的合理设计材料力学Ⅰ电子教案2§4-1对称弯曲的概念及梁的计算简图Ⅰ.关于弯曲的概念受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案3弯曲变形第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案4工厂厂房的天车大梁第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案5上海长江大桥第53号至54号桥墩间，架起“百米长梁”。这一箱梁长105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。百米长梁超越东海大桥梁式大桥70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时速100公里。整个隧桥工程在2010年完工。上海长江大桥架起世界第一梁第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案6第四章弯曲应力工程实例F2F1(d)楼房的横梁材料力学Ⅰ电子教案7对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。第四章弯曲应力轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。材料力学Ⅰ电子教案8本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。第四章弯曲应力非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。zFyxFzyzyF对称轴z材料力学Ⅰ电子教案9Ⅱ.梁的计算简图对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。第四章弯曲应力F材料力学Ⅰ电子教案10(1)支座的基本形式1.固定端——实例如图a，计算简图如图b,c。第四章弯曲应力(b)(c)MRFRxFRy(a)材料力学Ⅰ电子教案112.固定铰支座——实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。3.可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。第四章弯曲应力(d)楼房的横梁材料力学Ⅰ电子教案12悬臂梁(2)梁的基本形式简支梁外伸梁第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案13在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(3)静定梁和超静定梁图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案14FAFBFABFalAB00AXxF,F§4-2梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图Ⅰ.梁的剪力和弯矩(shearingforceandbendingmoment)①截面法计算梁的内力0)(0alFlFmAB-,⑴列方程求约束力lFaFlalFFBA,00FalFmBA-,第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案15ABFFAFBmmx⑵求内力FsM∴弯曲构件内力：－剪力，－弯矩。FAAC研究对象：m-m截面的左段：sFM第四章弯曲应力lalFFFAS0,0AyFFFS0,0xFMMACxlalFxFMA材料力学Ⅰ电子教案16MFsFBFC第四章弯曲应力故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边梁段的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加以检验：MFAACFs0,0SByFFFF0,0xlFxaFMMBClalFlFaFFFFBS从而有xlalFxlFxaFMB材料力学Ⅰ电子教案17FAFsMACMFsFBFC第四章弯曲应力(1)横截面上的剪力在数值上等于截面一侧所有外力(横向力)的代数和。(2)横截面上的弯矩在数值上等于截面一侧所有外力（外力偶）对该截面形心的力矩之代数和。xlalFxFMlalFFFAA,SlalFlFaFFFFBSxlalFxlFxaFMB材料力学Ⅰ电子教案18为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。第四章弯曲应力②剪力和弯矩的正负规定材料力学Ⅰ电子教案19※※综上所述可知：(1)横截面上的剪力在数值上等于截面一侧所有外力(横向力）的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；即左上右下剪为正。(2)横截面上的弯矩在数值上等于截面一侧所有外力（外力偶）对该截面形心的力矩之代数和。截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶矩引起正值的弯矩，截面右侧梁段上逆时针转向的外力偶矩引起正值的弯矩，即左顺右逆弯为正。第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案20Ⅱ.剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案21例题4-1图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力(a)材料力学Ⅰ电子教案22距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有lxqxxqxxMlxqxxF02202S解：1.列剪力方程和弯矩方程当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。第四章弯曲应力(a)材料力学Ⅰ电子教案232.作剪力图和弯矩图剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧)。lxqxxF0SlxqxxqxxM0222第四章弯曲应力(b)(c)(a)FS,max=ql，都在固定端右侧横截面上。22maxqlM材料力学Ⅰ电子教案24例题4-2图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束力2qlFFBA第四章弯曲应力(a)材料力学Ⅰ电子教案252.列剪力方程和弯矩方程lxqxqlqxFxFA02SlxqxqlxxqxxFxMA02222第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案26由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为(正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为发生在跨中横截面上。2max,SqlF82maxqlM3.作剪力图和弯矩图lxqxqlxF02SlxqxqlxxM0222第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案27简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案28例题4-3图a所示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力F(a)解：1.求约束力lFaFlFbFBA,材料力学Ⅰ电子教案292.列剪力方程和弯矩方程此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章弯曲应力FAC段梁axxlFbxFxMaxlFbFxFAA00S材料力学Ⅰ电子教案30CB段梁lxalFalblFFlFbxFS第四章弯曲应力FxlxaxllFaaxFxlFbxM材料力学Ⅰ电子教案313.作剪力图和弯矩图如图b及图c。由图可见，在ba的情况下，AC段梁在0xa的范围内任一横截面上的剪力值最大，；集中荷载作用处(x=a)横截面上的弯矩值最大，。lFbFmax,SlFabMmaxlxaxllFaxM)(axlFbxF0SaxxlFbxM0lxalFaxFS第四章弯曲应力(b)(c)材料力学Ⅰ电子教案324.讨论由剪力图可见，在梁上的集中力(包括集中荷载和约束力)作用处剪力图有突变，这是由于集中力实际上是将作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案33例题4-4图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。第四章弯曲应力解：1.求约束力lMFlMFBAee,材料力学Ⅰ电子教案34AC段梁：axxlMxFxMA0elxaxllMMxlMMxFxMeeeeA第四章弯曲应力xxxMFS(x)xMFS(x)CB段梁：lMFxFeASlMFxFeAS2.列剪力方程和弯矩方程材料力学Ⅰ电子教案353.作剪力图和弯矩图axxlMxM0elxaxllMxMelxlMxF0eS第四章弯曲应力此简支梁的两支座之间无集中荷载作用，故AC段梁和BC段梁的剪力方程相同。材料力学Ⅰ电子教案36如图可见，两支座之间所有横截面上剪力相同，均为。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。lMFeS第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案37思考1：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。试问：(a)此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？为什么？(b)荷载F移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案38思考2：根据对称性与反对称性判断下列说法是否正确。(a)结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称；(b)结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称。第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案39第四章弯曲应力x+-100kN100kNFSxFS图+100150100xMM图（kN·m）yFAFBABCDE2m1m4mq-材料力学Ⅰ电子教案40载荷与内力Fs、M的变化规律,归纳如下：载荷图SF图M0)(xq0Cq0CqFoM水平直线+-oror斜直线抛物线抛物线斜直线F(剪力图无变化)M处有尖角oM斜直线*集中力偶处—剪力图无变化；弯矩图有突变，突变高度=集中力偶的大小。*集中力处—剪力图有突变，突变高度=集中力的大小；弯矩图有尖角。剪力图突变M图突变*弯矩极值处——，剪力为零的截面处弯矩图有极值。时0q当第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案41Ⅲ.弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用M(x),FS(x)与q(x)间微分关系的导出从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。第四章弯曲应力材料力学Ⅰ电子教案420dd0SSSxxqxFxFxFFy从而得：xqxxFddS02dddd0SxxxqxxFxMxMxMMC得及00CyMF由梁的微段的平衡方程略去二