07210第四章--多自由度系统振动(讲1)

第3次作业题：1、如图所示起重机小车，其质量为m1=2220kg,在质心A处用绳悬挂一重物B，其质量为m2=2040kg。绳长l=14m,左侧弹簧是缓冲器，刚度系数k=852.6kN/m。设绳和弹簧质量均忽略不计，当车连同重物B以匀速v0=1m/s碰上缓冲器后，求小车和重物的运动。2、两个质量块m1和m2用一弹簧k相连，m1的上端用绳子拴住，放在一个与水平面成а角的光滑斜面上，如习题下图所示。若t=0时突然割断绳子，两质量块将沿斜面下滑。试求瞬时t两质量块的位置。答案：sin])(cos2)([21222221221gmmktmtmmkmxsin])(cos2)([21222221222gmmktmtmmkmx3．如图，已知m2＝2×m1=m，k3=2k1=2k2=2k，x10=1.2,x20=10x＝20x＝0，试求系统的固有频率，主振型以及相应。答案：利用程序，易得固有频率：n1=3.162277rad/s，n2=5rad/s主振型：m1m2k3k2k1主振型图示111-0.5-1.0-0.50.00.51.01.51系统相应：tx5cos8.03.1622777tcos4.01tx5cos4.03.1622777tcos4.024．已知:11009][m,[c]=11.01.01,][k=905050110,)}({tf=21,激振力频率=3rad/s,试求系统的稳态响应。答案：利用给定程序，输入给定数据，即获得系统的稳态响应。第四章多自由度系统振动§4-1多自由度系统运动方程的建立(引言：问题的提出。)工程中的机械振动问题，有一些可以简化成一个或两个自由度系统的振动问题，因此可以用前面几章中介绍的方法进行分析计算。但是也有很多问题不能采用这种过于简化的力学模型来进行分析。一般来说，各种机器及其零部件的质量和刚度都具有分布的性质，因此理论上都是无限多自由度系统，即为弹性体。但由于机器的结构比较复杂，若都按无限多自由度来处理，在数学上有很大的，甚至目前还无法解决的困难。因此，只好将系统的结构用一些离散的结构来理想化。这样就把弹性体变成数目有限个的离散单元组成的有限多自由度系统。如前所述，振动系统有多少个自由度就有多少个固有频率和主振型，也就有多少阶主振动，因此弹性体就有无穷多阶主振动。但有意义的只有前几阶，因为低阶主振动的节点少，比高阶主振动危险。因此把机器结构看成有限多自由度，并只研究其前几阶主振动一般已经足够了。建立和求解多自由度系统振动的运动微分方程式，常常应用分析力学的方法，即根据拉格朗日方程式来建立系统的振动方程式，并应用矩阵（matrix）这一数学工具来进行分析计算。一、拉格朗日法{公式的推导见分析力学}采用拉格朗日方程式来建立系统的振动方程式，这种方法比较规格化，不易出错。按拉格朗日方法，系统的振动方程式可通过动能T、位能U、能量散失函数D来表示。即niQqDqUqTqTdtdiiiii,,2,1（4.1）式中：iiqq、——分别为广义坐标和广义速度；T、U——分别为系统的动能和位能（或势能）；D——能量散失函数；Q——广义干扰力。或者}0)({iiqLqLdtd图4.1所示为三自由度的弹簧质量系统，P1、P2、P3为分别作用于各质量上的干扰力。取各质量偏离其平衡位置的位移x1、x2、x3为广义坐标，则广义速度为321xxx、、。系统的动能即为质量m1、m2、m3为的动能之和，即：23322221121xmxmxmT（4.2）系统的势能即为弹簧1、2、3的变形势能之和。而弹簧的势能可通过计算弹簧力所作之功来求得。当质量从平衡位置移动x距离后，弹簧的弹性恢复力kx对质量所作的功为：2021kxkxdxAxk所以系统的势能为：2233212221121xxkxxkxkU（4.3）系统的能量散失函数即为系统在振动过程中的克服阻尼C1、C2、C3所作的功。因为阻尼力cx与振动速度x成线性关系，所以在振动速度从0到x的整个过程中，阻尼力对振动质量所作的功为xcxcdxxcA0221所以系统的能量散失函数为：2233212221121xxcxxcxcD广义干扰力就是激振力，在这一系统中就是分别作用在各质量上的干扰力P1、P2、P3。故112332222111121xmxmxmxmxdtdxTdtd02123322221111xmxmxmxxT22121223321222111121xkxkkxxkxxkxkxxU22121223321222111121xcxccxxcxxcxcxxD将上列各式代入（4.1）式，即可求得m1的振动方程为：1221212212111Pxkxkkxcxccxm（4.5）又222332222112221xmxmxmxmxdtdxTdtd02xT3323212223321222112221xkxkkxkxxkxxkxkxxU3323212223321222112221xcxccxcxxcxxcxcxxD将上列各式代入（4.1）式，即可求得m2的振动方程为：23323212332321222Pxkxkkxkxcxccxcxm（4.6）又332332222113321xmxmxmxmxdtdxTdtd03xT2333223321222113321xkxkxxkxxkxkxxU2333223321222113321xcxcxxcxxcxcxxD将上列各式代入（4.1）式，即可求得m3的振动方程为：33323332333Pxkxkxcxcxm（4.7）综合以上的计算结果，将（4.5）、（4.6）及（4.7）式组成下列微分方程组，即得图4.1所示系统的运动微分方程式：33323332333233232123323212221221212222111PxkxkxcxcxmPxkxkkxkxcxccxcxmPxkxkkxcxccxm（4.8）上式可用矩阵形式表达为：Pxkxcxm（4.9）其中各列阵及系数矩阵分别为：位移列阵321xxxx；速度列阵321xxxx；加速度列阵321xxxx；干扰列阵321PPPP质量矩阵321000000mmmm；阻尼矩阵33332222100cccccccccc;刚度矩阵33332222100kkkkkkkkkk。（4.8）式及（4.9）式都是系统的有阻尼受迫振动方程式。若在上述系统中忽略阻尼，又无干扰力的作用，则系统的无阻尼自由振动方程式可用矩阵直接写出：0xkxm（4.10）其中，零列阵（nullcolumnmatrix）为：0000若系统的自由度数为n，则位移列阵x、速度列阵x、加速度列阵x，以及干扰力列阵P均为n阶列阵。而质量矩阵[m]、阻尼矩阵[c]，以及刚度矩阵[k]则为n阶对称的方阵。二、影响系数法如前所述，多自由度系统振动方程的矩阵表达式为：Pxkxcxm因此，若能设法求出系统的质量矩阵[m]，阻尼矩阵[c]和刚度矩阵[k]，就可以直接按上式写出系统的运动微分方程式。[m]、[c]、[k]的一般形式为：nnnnnnmmmmmmmmmm212222111211（4.11）nnnnnncccccccccc212222111211（4.12）nnnnnnkkkkkkkkkk212222111211（4.13）上列矩阵中的任一元素mij、cij、kij分别代表第i坐标和第j坐标之间的惯性、阻尼和刚度的相互影响，故分别称之为惯性影响系数（inertiainfluencecoefficient）、阻尼影响系数（dampinginfluencecoefficient）和刚度影响系数（stiffnessinfluencecoefficient）。惯性影响系数、阻尼影响系数和刚度影响系数的定义分别为：mij——使系统的第j坐标产生单位加速度，而其它坐标的加速度为零时，在第i坐标上所需加的作用力大小。cij——使系统的第j坐标产生单位速度，而其它坐标的速度为零时，在第i坐标上所需加的作用力大小。kij——使系统的第j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移为零时，在第i坐标上所需加的作用力大小。现以图4.1所示的三自由度系统为例，来说明确定影响系数和系数矩阵的方法。1．确定kij及[k]设0,1321xxx。即使m1产生单位位移，而m2、m3不动。则在m1需要加大小等于21kk的力，以克服弹簧21kk和的弹性阻力。由于m1的位移为正方向，所以弹簧21kk和的弹性阻力的方向为负。因此在m1上所需加的作用力的方向为正。故2111kkk。为了在x1=1时，使x2=0，即m1产生单位位移时，m2不动，则需要在m2上加大小等于k2的力，以克服弹簧k2对m2作用的弹性力k2。由于m1的位移方向为正，所以弹簧k2被压缩，其对m2作用的弹性力方向为正。因此在m2上所需加的作用力的方向应为负，故221kk。当x1=1时，要使x3=0。m1产生单位位移时，m3不动。由于m3和m1之间没有直接的联系，而且m1产生单位位移时，m2又不动，所以弹簧k3没有变形，m3没有受到弹性力的作用。因此要使x3=0，并不需要在m3上加力，故031k。设0,1312xxx。即使m2产生单位位移，而m1、m3不动。要使m2产生单位位移，必须克服弹簧32kk及的弹性阻力32kk。故m2上所需加的作用力32kk，即3222kkk。为了在x2=1时，使x1=0，则必须克服弹簧k2作用于m1的弹性力k2。故在m1上所需加的作用力2k，即212kk。为了在x2=1时，要使x3=0。则必须克服弹簧k3作用于m3的弹性力k3。故在m3上所需加的作用力为3k，即332kk。再设0,1213xxx。即使m3产生单位位移，而m1、m2不动。要使m3产生单位位移，必须克服弹簧3k的弹性阻力3k，故在m3上所需加的作用力3k，即333kk。为了在x3=1时，x2=0，则必须克服弹簧k3作用于m2的弹性力k3。故在m2上所需的作用力3k，即323kk。当x3=1时，要使x1=0。由于m3与m1没有直接的联系，故013k。将以上求得的全部刚度影响系数按下角标写成矩阵形式，就得到系统的刚度矩阵：33332222133323123222113121100kkkkkkkkkkkkkkkkkkk2．