第3章最小二乘平差

误差理论与测量平差基础最小二乘平差测量平差求平差值精度评定评定精度的指标？1、何谓平差值?？如何去求这些指标？定义求广义传播律单位权方差、对应权倒数方差（阵）、权（协因数阵）2、怎样去求？3.1测量平差的数学模型3.2条件式的线性化3.3最小二乘估计3.4条件平差法3.5间接平差法3.6附有限制条件的条件平差法3.7最小二乘估计的统计性质本章教学内容重点与难点：平差计算公式以及精度评定公式；最小二乘统计特性。本章学习主要内容概括为：测量平差的数学模型概念；基本平差方法（平差计算公式、精度评定公式）；最小二乘估计的统计特性。第3章最小二乘平差3.1测量平差的数学模型3.1.1测量平差的数学模型平差数学模型包括：函数模型和随机模型两个部分。函数模型是指：观测值的数学期望之间的函数关系式；或观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式；或待定参数的数学期望之间的函数关系式。随机模型是指：描述观测值的先验精度及其相关性的特征，常用观测值的方差-协方差阵来表示。例如：为确定一个三角形的形状，若等精度独立观测了三角形三个内角，观测值方差为。则平差的数学模型可表达为：2011101111800()()()1800LLLELELEL或：21122022233000000000000LQDQQ函数模型：随机模型：3.1.2必要观测和多余观测多余观测数：即在必要观测的基础上，每增加一个观测量，观测中就有了一个多余观测，用r表示其个数。观测总数：用n表示。必要观测数：能够唯一确定一个几何模型所必需的元素，简称必要元素。对应的必要观测量个数，称为必要观测数（用t表示）。则有：r=n-tADCBh1h6h5h2h4h36,3,3ntr7,4,3ntr通过上面例子，不难看出：而观测值不可避免地存在偶然误差，使得约束条件因实际存在闭合差而并不满足；如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这就是测量平差的主要任务！由于多余观测，将会使观测量真值之间产生一个几何或者物理的约束方程，即函数模型；那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除闭合差的目的呢？首先要由观测值和未知量间组成函数模型；然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。关键：1）函数模型；2）平差准则。建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法。测量中常用的有：1、条件平差法、附有参数的条件平差；2、间接平差法、附有限制条件的间接平差；3、附有限制条件的条件平差法。3.1.3函数模型测量数据的函数模型一般为：几何模型、物理模型或几何、物理综合模型。（测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型）1、条件平差法条件平差的函数模型观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。条件平差以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。154256346123124600000.......hhhhhhhhhhhhhhhh154256346123124600000.......hhhhhhhhhhhhhhhh154256346000hhhhhhhhh等价01231800LLL012304560123456180018003600LLLLLLLLLLLL0123045618001800LLLLLL等价条件方程的个数：等于多余观测数r，且r个条件式线性无关（独立）！条件方程的通式：值得注意：1）一个平差问题中，条件形式不唯一！选取形式最简为易！2）各条件式之间必需是独立的！11100rnrnrALA条件方程的特点：思考：如果将第三个式换为是否可行？ｎ=6，t=3，r=3，故应列出3个线性无关条件方程：154256346000hhhhhhhhh1234560000TTLhhhhhhA1001-10A=01001-100110-103661310ALA12640hhhhｎ=6，t=4，r=2，故应列出2个线性无关的条件方程：0123045618001800LLLLLL000111000,000111180180AA02,66,12,10ALA12245135000ABHhhHhhhhhh24513534000ABhhhhhhHhhH思考：以下是否可行？为什么？2451351234000hhhhhhhhhh（1）（2）（3）ｎ=5，t=2，r=3；列立3个函数模型：0123180012210sinsinSS1230sinsinabSS思考：有些条件方程是非线性的、又如何线性化？（是后续要介绍的问题。）2.附有参数的条件平差法1、先仍然按条件平差列r个条件方程；2、然后再增选一个参数，则就会增加一个条件方程，即3、则上式可写成：01231800LLL10LX00111018010010ABA，，023312111210ALBXA，，，，，Xｎ=5，t=2，r=5-2=3，按条件平差列函数摸型为：选C点高程为参数，则增加一个条件式，为：写成距阵式为：13524512000ABhhhhhhHhhH10AHhX5,11,1010101000101100110000100001ABALXHHHCHX可以看出，它是“特殊的条件平差”；它特殊在于选了参数，且参数的个数ｕ不能大于或等于t，即：（0＜ｕ＜t）；函数模型的总数ｃ且ｃ=r+ｕ；函数模型由两大类构成：1)一类是条件平差的条件方程；2)另一类是含有参数的条件方程。合并两类函数模型，得通式为：01110cnncuucALBXA附有参数的条件平差的函数模型的特点：例：下图测角网中，A、B已知点，AC已知边。观测9个角。按条件平差应列几个条件方程？ABCDE123548967X可见：有时为了某种需要，除了n个被观测量外，还选了u个非观测量（称之为未知数或参数）参与平差，其中ut。S0ｎ=4，t=2，r=4-2=2选ｕ=1个参数：列立ｃ=r+ｕ=3个条件方程：1PHX231241000ABAhhHhhhHHhX01100011010010001ABALXHHH3、间接平差法(参数平差）间接平差的函数模型观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式。即：先选定t个独立参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，这种函数关系式称为“观测方程”。间接平差法：以上述的观测方程为平差的函数模型，称为间接平差（又称为参数平差）。t=2，选2个参数，函数模型：1122XLXL选：11220312180LXLXLXX0010001,011180BB03,13,22,13,1LBXB1X2X列立观测方程前需先选参数，且参数的个数等于必要观测数t。t个参数独立（即不能存在确定的函数式）！观测方程的个数等于观测值的个数n。一般表达式：在测量控制网中，常采用待定点的坐标、待定点的高程为平差参数建立观测方程。0,1,,1,1nnttnLBXB观测方程的特点：例.（1）确定t=3，故需选3个参数；（2）选网中三个待定点高程为平差参数（3）则列立ｎ=6个观测方程。为112123243513623AAAhXHhXXhXHhXHhXXhXX123,,BCDXHXHXH例.（1）t=2，选D，C点的高程为参数：（2）列立5个观测方程：11213242512ABABhXHhXHhXHhXHhXX12,CDXHXH121300LLLL例.下图，试分别列立条件平差的函数模型、间接平差的函数模型。条件平差ｎ=3，t=1，r=2，故列立2个条件方程：间接平差t=1，故选AB间距离为参数、列立3个观测方程：123LXLXLX条件平差的函数模型：先确定必要观测数t；由r=ｎ-t求出多余观测r；列立r个独立的条件方程（即观测量真值之间的几何条件式）。即：11100rnrnrALA()0FL间接平差的函数模型：先确定必要观测数t；选t个独立的参数；列立ｎ个观测方程（将每一个观测值期望表达成所选参数的函数）；即：0,1,,1,1nnttnLBXB条件平差函数模型与间接平差函数模型比较例：分别列立条件平差、间接平差的函数模型，并将用一般形式表示。条件平差的条件方程为：001101101,0()TTABAAHH1234令：，L=hhhh00ALA则为：间接平差的观测方程为：11223410011,,,01101ABHhXhBXLdXhHh令：231240()0ABhhhhhHH11221121231242PPABHXHXhXHhXXhXXhXH选：，0LBXB则为：4、附有限制条件的间接平差的函数模型t=2，选ｕ=2+1个参数：则参数间就不独立了，产生约束条件：间接平差的函数模型仍为：112233,,XLXLXL1231800XXX11220312180LXLXLXX1122031201231801800LXLXLXXXXX写成矩阵形式为：可见，矩阵形式的特点是有两类！000LBXBCXC特殊的间接平差，即仍要选参数，但参数的个数u＞t。多选参数的个数s=u-t，这样，参数就不独立了，之间会产生s函数式。函数模型的构成：1）是间接平差的观测方程；2）是参数之间的条件方程。函数模型的个数=n+(u-t)=n+s。函数模型通式：附有限制条件的间接平差函数模型的特点：111111000ntntnsususBLXBCXC()LFX()0X思考：按间接平差应建立几个观测方程？附有限制条件的间接平差：看成是特殊的间接平差；特殊在所选的参数个数要比间接平差时个数多；参数个数ｕ：ｕ＞t函数模型的个数：ｃ=ｎ+（ｕ-t）=ｎ+ｓ函数模型的类型：1.按间接平差的观测方程、2.未知数之间的条件方程（限制条件式）。函数模型可表示为：附有参数的条件平差：看成是特殊的条件平差；特殊在需选参数，且独立；参数个数ｕ：0＜ｕ＜t函数模型的个数：ｃ=r+ｕ；函数模型的类型：1.按条件平差的条件方程、2.含有参数的条件方程。函数模型可表示为：附有参数的条件平差与附有限制条件的间接平差函数模型比较000LBXBCXC00ALBXA参数个数平差方法函数模型一般式ｕ=0条件平差ｕ=t间接平差0＜ｕ＜t附有参数的条件平差ｕ＞t附有限制条件的间接平差0,1,,1,1nnttnLBXB11100rnrnrALA111111000ntntnsususBLXBCXC0,,1,,1,10cnncuucALBXA四种平差方法与参数的关系以及函数模型的一般式参数个数UU=0条件平差U=t间接平差ut附有参数的条件平差ut附有限制条件的间接平差函数模型函数模型函数模型函数模型ˆˆ(