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第28讲┃圆的有关性第28讲┃考点聚焦考点聚焦考点1圆的有关概念圆的定义定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合第28讲┃考点聚焦弦连接圆上任意两点的________叫做弦直径经过圆心的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做弧优弧大于半圆的弧叫做优弧劣弧小于半圆的弧叫做劣弧线段考点2确定圆的条件及相关概念第28讲┃考点聚焦确定圆的条件不在同一直线的三个点确定一个圆三角形的外心三角形三边________的交点，即三角形外接圆的圆心防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部垂直平分线考点3圆的对称性第28讲┃考点聚焦圆既是一个轴对称图形又是一个________对称图形，圆还具有旋转不变性．中心考点4垂径定理及其推论第28讲┃考点聚焦垂径定理垂直于弦的直径______，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧总结简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立平分弦考点5圆心角、弧、弦之间的关系第28讲┃考点聚焦定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的______相等，所对的______相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等弧弦考点6圆周角第28讲┃考点聚焦圆周角定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于该弧所对的圆心角的________推论1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______推论2半圆(或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是________三角形相等一半相等直角直径直角考点7圆内接多边形第28讲┃考点聚焦圆内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形的性质圆内接四边形的______对角互补考点9反证法第28讲┃考点聚焦定义不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法步骤(1)假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相反的假设(2)从假设的结论出发，推出矛盾(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确第28讲┃归类示例归类示例►类型之一确定圆的条件命题角度：1.确定圆的圆心、半径；2.三角形的外接圆圆心的性质．10或8例1[2012·资阳]直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．第28讲┃归类示例[解析]直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；②当两条直角边长分别为16和12时，则直角三角形的斜边长＝162＋122＝20，因此这个三角形的外接圆半径为10.综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.第28讲┃归类示例(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．►类型之二垂径定理及其推论命题角度：1.垂径定理的应用；2.垂径定理的推论的应用．第28讲┃归类示例例2[2013·南通]如图28－1，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．图28－1第28讲┃归类示例[解析]过圆心O作弦AB的垂线，垂足为E，易证它也与弦CD垂直，设垂足为F，由垂径定理知AE＝BE，CF＝DF，根据勾股定理可求OE，OF的长，进而可求出AB和CD的距离．第28讲┃归类示例解：过点O作OE⊥AB，交CD于F，连接OA、OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD.在Rt△OAE中，∵OA＝17cm，AE＝BE＝12AB＝15(cm)，∴OE＝172－152＝8(cm)．同理可求OF＝172－82＝15(cm)．∵圆心O位于AB，CD的上方，∴EF＝OF－OE＝15－8＝7(cm)，即AB和CD的距离是7cm.垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．第28讲┃归类示例►类型之三圆心角、弧、弦之间的关系例3[2011·济宁]如图28－2，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD.(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．第28讲┃归类示例命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．图28－2第28讲┃归类示例[解析](1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB＝DE＝DC.解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD＝CD.∴BD＝CD.(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.圆心角、弧、弦之间关系巧记．同圆或等圆中，有些关系要搞清：等弧对的弦相等，圆心角相等对弧等，等弦所对圆心角相等，反之亦成立．第28讲┃归类示例►类型之四圆周角定理及推论D命题角度：1.利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；2.直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．第28讲┃归类示例例4[2013·湘潭]如图28－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝()A.20°B.40°C.50°D.80°图28－3[解析]先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°.第28讲┃归类示例圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化．第28讲┃归类示例►类型之五与圆有关的开放性问题命题角度：1.给定一个圆，自由探索结论并说明理由；2.给定一个圆，添加条件并说明理由．第28讲┃归类示例例5[2013·湘潭]如图28－4，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝0.5AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．图28－4(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC；(2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中画出△PCD，并说明理由；(3)如图③，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．第28讲┃归类示例第28讲┃归类示例[解析](1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可知当PC＝AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等；(3)由∠ACB＝90°，AC＝0.5AB，可求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证△PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数第28讲┃归类示例解：(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝∠D＝90°.又∵∠CAB＝∠DPC，∴△PCD∽△ABC.(2)如图，当点P运动到PC为直径时，△PCD≌△ABC.理由如下：∵PC为直径，∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合，∴PC＝AB，CD＝BC，故△PCD≌△ABC.(3)∵AC＝0.5AB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.∴∠CPB＝∠CAB＝60°.∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，∴△PBC为等边三角形．又CD⊥PB，∴∠BCD＝30°.圆是一个特殊的封闭图形，它具有一些特殊的性质，在给定一个圆之后，可以得到不同类型的结论．与圆有关的探究性问题是近年中考中的常见类型，由于此类试题新颖、灵活又不难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意识和创新能力，所以此类问题成为中考的热点之一．在解决这些问题的时候，要把握准圆的性质的应用．第28讲┃归类示例►类型之六尺规作图命题角度：能正确地按要求进行尺规作图第28讲┃归类示例例6[2013·鞍山]如图28－5，某社区有一矩形广场ABCD，在边AB上的M点和边BC上的N点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在BD上(点B除外)选一点P再种一棵景观树，使得∠MPN＝90°，请在图中利用尺规作图画出点P的位置(要求：不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹)．图28－5[解析]先作出MN的中点，再以MN为直径作圆与BD相交于点P.解：如下图所示，连结MN，作出MN的垂直平分线，交MN于E，以E为圆心，EM的长为半径画圆与BD交于点P(标出点P)．如图所示，点P就是所求作的点．第28讲┃归类示例第28讲┃归类示例变式题[2013·泰州]如图28－6，已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求填空：(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.由以上作图可得：线段EF与线段BD的关系为____________．图28－6互相垂直平分解：(1)作图如下图．(2)作图如下图；互相垂直平分第28讲┃归类示例中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求：①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线．②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形．③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)．我们在掌握这些方法的基础上，还应该会解一些新颖的作图题，进一步培养形象思维能力．第28讲┃归类示例►类型之七反证法命题角度：1．反例的作用，利用反例可以证明一个命题是错误的；2．反证法的含义．第28讲┃归类示例例7[2013·包头]已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2na2，则mn；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④垂直于弦的直径平分弦．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个B[解析]四个命题的原命题均为真命题，①的逆命题为：若|a|＝－a，则a≤0，是真命题；②的逆命题为：若mn，则ma2na2，是假命题，当a＝0时，结论就不成立；③的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等，是真命题；④的逆命题是：平分弦的直径垂直于弦，是假命题，当这条弦为直径时，结论不一定成立．综上可知原命题和逆命题均为真命题的是①③，故答案为B.第28讲┃归类示例第28讲┃归类示例变式题[2012·攀枝花]下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个B[解析]等边三角形是轴对称图形，