解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

1解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下：§1.极点与极线的定义1.1几何定义如图，P是不在圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,EFGH，连接,EHFG交于N，连接,EGFH交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.由图1可知，同理PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.MNP称为自极三点形.若连接MN交圆锥曲线于点,AB，则,PAPB恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图1也给出了两切线交点P对应的极线的一种作法.1.2代数定义已知圆锥曲线22:220AxCyDxEyF，则称点00(,)Pxy和直线0000:()()0lAxxCyyDxxEyyF是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0xx替换2x，以02xx替换x(另一变量y也是如此)即可得到点00(,)Pxy极线方程.特别地：(1)对于椭圆22221xyab，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyab；(2)对于双曲线22221xyab，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyab；(3)对于抛物线22ypx，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00()yypxx.§2.极点与极线的基本结论定理1(1)当P在圆锥曲线上时，则极线l是曲线在P点处的切线；(2)当P在外时，则极线l是曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；(3)当P在内时，则极线l是曲线过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：假设同以上代数定义，对22:220AxCyDxEyF的方程，两边求导得22220AxCyyDEy，解得AxDyCyE，于是曲线在P点处的切线斜率为00AxDkCyE，故切线l的方程为0000()AxDyyxxCyE，化简得220000000AxxCyyAxCyDxEyDxEy，又点P在曲线上，故有220000220AxCyDxEyF，从中解出2200AxCy，然后代和可得曲线在P点PEFGHMANB图12处的切线为0000:()()0lAxxCyyDxxEyyF.(2)设过点P所作的两条切线的切点分别为1122(,),(,)MxyNxy，则由(1)知，在点,MN处的切线方程分别为1111()()0AxxCyyDxxEyyF和2222()()0AxxCyyDxxEyyF，又点P在切线上，所以有01011010()()0AxxCyyDxxEyyF和020220()AxxCyyDxx20()0EyyF，观察这两个式子，可发现点1122(,),(,)MxyNxy都在直线0000()()0AxxCyyDxxEyyF上，又两点确定一条直线，故切点弦MN所在的直线方程为0000()()0AxxCyyDxxEyyF.(3)设曲线过00(,)Pxy的弦的两端点分别为1122(,),(,)SxyTxy，则由(1)知，曲线在这两点处的切线方程分别为1111()()0AxxCyyDxxEyyF和2222()()0AxxCyyDxxEyyF，设两切线的交点为(,)Qmn，则有1111()()0AxmCynDxmEynF，2222()()0AxmCynDxmEynF，观察两式可发现1122(,),(,)SxyTxy在直线()()0AxmCynDxmEynF上，又两点确定一条直线，所以直线ST的方程为()()0AxmCynDxmEynF，又直线ST过点00(,)Pxy，所以0000()()0AxmCynDxmEynF，因而点(,)Qmn在直线0000()()0AxxCyyDxxEyyF上.所以两切线的交点的轨迹方程是0000()()0AxxCyyDxxEyyF.定理2若圆锥曲线中有一些极线共点于点P，则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线，反之亦然.即极点与极线具有对偶性.如图4(1)(2)所示.PMN图2Q(m,n)TS图3P(x0,y0).PABP点P的极线点P的极线图4(1)图4(2)3§3.极点与极线在教材中的体现极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现.3.1圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线如果圆锥曲线是椭圆22221xyab，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线00221xxyyab变为2axc，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221xyab，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线00221xxyyab变为2axc，恰是双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22ypx，当00(,)Pxy为其焦点(,0)2pF时，极线00()yypxx变为2px，恰是抛物线的准线.3.2许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解【例1】过抛物线22ypx的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为12,yy，求证：212yyp.证明：由于(,0)2pF,211(,)2yAyp，222(,)2yByp，故三点对应的极线方程分别是2px，211()2yyypxp和222()2yyypxp，由于,,AFB三点共线，根据定理2可知，对应的三条极线共点，将2px代入后面两式得2211122pyyy，2222122pyyy，两式相除得22112222yypyyp212yyp.作为课本一习题，2001年全国高考试卷19题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明这一高考题.设抛物线22ypx的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于两点,AB，点C在抛物线的准线上，且BC平行于x轴，证明直线AC必过原点.简证：如图5，设1122(,),(,)AxyBxy，则2(,)2pCy，从而1112OAypkxy，22OCykp22yp，故22121122()20OAOCyyyppkkyppy，所以OAOCkk，即直线AC过原点.3.3教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与圆锥曲线的位置关系问题来解决【例2】(1)已知抛物线的方程为24yx，直线l过定点(2,1)P，斜率为k，问k为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？(2)已知双曲线2212yx，过点(1,1)P能否作直线l，与双曲线交于,AB两点，且P是线段AB的中点？ABCOxy图5F4解：(1)直线l的方程为1(2)ykx，即21ykxk.设直线l对应的极点为00(,)Pxy，则相应的极线应为002()yyxxx，即00022xyxyy，故0000222kykyyx，当0k时，00122xkyk，直线l与抛物线有两个公共点00(,)Pxy在抛物线外20024144(2)yxkk，解得112k且0k；同理可求得当1k或12k或0k时直线与抛物线只有一个公共点；当1k或12k时直线与抛物线没有公共点.(2)设00(,)Axy，则由P是线段AB的中点得00(2,2)Bxy，而,AB在双曲线上，故2200220012(2)(2)12yxyx，两式相减得00422xy，即002212yx，而2212yx是点(2,2)对应的极线，但点(2,2)在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.§4.极点与极线在各种考试中的深层体现4.1高考试题中的极点与极线极点与极线作为具体的知识点尽管不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，当然也不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景.【例3】(2006年全国试卷II21)已知抛物线24xy的焦点为F，,AB是抛物线上的两动点，且(0)AFFB，过,AB两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P.(1)证明FPAB为定值；(2)设ABP的面积为S，写出()Sf的表达式，并求S的最小值.解：(1)设点01122(,1),(,),(,)PxAxyBxy，,,FAB三点对应的极线方程分别为1y，112()xxyy，222()xxyy，由于,,ABF三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)Px，代入极线方程得1012022(1)2(1)xxyxxy，两式相减得12012()2()xxxyy.又02121(,2),(,)FPxABxxyy，故02121()2()0FPABxxxyy.(2)设AB的方程为1ykx，与抛物线的极线方程002()xxyy对比可知直线AB对应的极点为(2,1)Pk，把1ykx代入24xy并由弦长公式得24(1)ABk，所以ABPOxy图6F52212(1)4(1)2ABPSABFPkk.显然，当0k时，S取最小值4.【例4】(2005江西卷22)设抛物线2:Cyx的焦点为F，动点P在直线:20lxy上运动，过P作抛物线的两条切线,PAPB，且与抛物线分别相切于,AB两点.(1)求APB的重心G的轨迹方程；(2)证明PFAPFB.解：(1)设点001122(,),(,),(,)PxyAxyBxy，与002yyxx对比知直线:20lxy对应的极点为1(,2)2，P为直线l上的动点，则点P对应的极线AB必恒过点1(,2)2.设1:2()2ABykx，可化为2222kykx，故直线AB对应的极点为(,2)22kk，将直线AB的方程代入抛物线方程得2202kxkx，由此得2121212,(1)44xxkyykxxkk，APB的重心G的轨迹方程为222324222233kkkxkkkkky，消去k即得21(42)3yxx.(2)由(1)可设点(,2)22kkP，221122(,),(,)AxxBxx，且1212,22kxxkxx，所以2111(,)4FAxx，12121(,)24xxFPxx，2221(,)4FBxx.2212112112112222211111111()()()()244444cos11()()44xxxxxxxxxxxFPFAAFPFPFAFPFPxFPxx.同理1214cosxxFPFBAFPFPFBFP.所以有PFAPFB.评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.4.2竞赛试题中的极点与极线作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.ABPOxy图7Fl6【例5】(2002澳大利亚国家数学竞赛)已知ABC为锐角三角形，以AB为直径的⊙K分别交,ACBC于,PQ，分别过A和Q作⊙K的两条切线交于点R，分别过B和P作⊙K的两条切线交于点S，证明点C在线段RS上.下面将圆加强为椭圆，并给出证明.证明：以AB为x轴，线段AB为y轴建立直角坐标系，设椭圆方程为22221xyab，并设点12(,),(,)SayRay，则R点对应的极线22:1yyxAQab，代入椭圆方程解得点22222222222