第四章-波与声学基础-yyt

1振动理论与声学原理第四章波与声学基础波动学基础声学基础2振动、波动和声之间的关系振动广义振动：任一物理量（如位移、电流等）在某一位置附近反复变化。机械振动：物体在某一位置附近来回作往复运动。波动振动在介质中传播称为波，各种类型的波有类似的波动方程。声波：可以为人耳识别的波。声源的振动弹性媒介振动声波空气、固体、液体3波动是振动的传播过程;振动是激发波动的波源.机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动的介质;电磁波的传播可不需介质.能量传播反射折射干涉衍射两类波的共同特征一、波动学基础——机械波41、机械波的产生产生条件：1）波源；2）弹性介质.波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.机械波传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量注意2、机械波的分类1）横波:质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.（横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播）一、波动学基础——机械波切变:即剪切变形，指媒质各层之间发生平行于这些层的相对移动）5（横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播）一、波动学基础——机械波特征：具有交替出现的波峰和波谷2、机械波的分类：1）横波:质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.6软绳质点振动方向波的传播方向抖动一下，产生一个脉冲横波连续抖动，产生连续横波质点的振动方向与波的传播方向垂直波的传播方向质点振动方向软绳72）纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体、气体中传播2、机械波的分类一、波动学基础——机械波容变:拉伸压缩变形特征：具有交替出现的密部和疏部8抽送一下，产生一个脉冲纵波软弹簧软弹簧波的传播方向质点振动方向连续抽送，产生连续纵波波的传播方向质点振动方向在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。质点的振动方向与波的传播方向平行9一、波动学基础——机械波3、波线和波面波场--波传播到的空间。波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）--某时刻波源最初的振动状态传到的波面。波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直。沿波线方向各质点的振动相位依次落后。10波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面11波长：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.π2OyAA-ux一、波动学基础——机械波4、描述波动的几个物理量1）波长122）周期：波前进一个波长的距离所需要的时间.TTuTuuT13）频率：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.4）波速：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.u注意周期或频率只取决于波源的振动!波速只取决于媒质的性质（弹性及密度）！一、波动学基础——机械波13如为介质的密度如声音的传播速度sm4000sm343空气，常温左右，混凝土GuEu固体纵波Ku液、气体切变模量弹性模量体积模量横波一、波动学基础——机械波14例1在室温下，空气中的声速u1为340m/s，水中的声速u2为1450m/s，求频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中和水中的波长各为多少？m7.1Hz200sm3401111-um17.0212um25.7Hz200sm14501121-um725.0222u在水中的波长解由，频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中的波长u一、波动学基础——机械波15例2假如在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的传播过程可看作绝热过程.(1)视空气为理想气体，试证声速u与压强p的关系为，与温度T的关系为为气体摩尔热容之比，为密度，R为摩尔气体常数，M为摩尔质量.puMRTu(2)求0℃和20℃时,空气中的声速。,4.1molkg1089.22-M空气中一、波动学基础——机械波16解VpVp-ddVpVKdd-Ku气体中纵波的速度（1）理想气体绝热过程应满足绝热方程pV常量pupKMRTuRTMp由理想气体状态方程0dd1-pVVpV一、波动学基础——机械波P为气体压强，V为体积17121sm331molkg1089.2)K273)(KmolJ31.8(4.1---u121sm343molkg1089.2)K293)(KmolJ31.8(4.1---u（2）uRTM由（1）解一、波动学基础——机械波（2）求0℃和20℃时,空气中的声速。,4.1molkg1089.22-M空气中18),(txyy各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置坐标简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波.平面简谐波：波面为平面的简谐波.介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标为y）随时间的变化关系，即称为波函数.),(txy一、波动学基础——波动方程（平面简谐波）19点O的振动状态tAyOcos点Puxtt-x/u时刻点O的运动t时刻点P的运动)(cosuxtAyP-点P振动方程1.时间推迟法u一、波动学基础——波动方程20点P比点O落后的相位Op-xπ2-uxTuxxp---π2π2)(cosuxtAyp-点P振动方程tAyocos点O振动方程0,0xPx*yxuAA-O2.相位落后法一、波动学基础——波动方程21)cos(tAyO点O振动方程])(cos[uxtAyu沿x轴负向波函数u沿x轴正向])(cos[-uxtAyyxuAA-O0,0x如果原点的初相位不为零一、波动学基础——波动方程22波动方程的其它形式])(π2cos[)(-λxTtAx,ty)cos(),(-kxtAtxyπ2k角波数质点的振动速度，加速度])(sin[--uxtAtyv])(cos[222--uxtAtya一、波动学基础——波动方程26例题已知波动方程如下，求波长、周期和波速.].)cm01.0()2.50s[(πcos)cm5(-1-1xty-)(π2cosxTtAy-])cm201.0()s22.50[(π2cos)cm5(1-1-xty-把题中波动方程改写成cm20001.0cm21scm250-Tus8.0s5.22T比较得方法一（比较系数法）.解：一、波动学基础——波动方程28例题一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅A＝1.0m，，，在时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy轴正方向运动.求1）波动方程；0tm0.2s0.2T2）求波形图；s0.1t3）x=0.5m处质点的振动规律并做图。一、波动学基础——波动方程])(π2cos[-xTtAy波动方程的标准式292π-0,0tyyv00xt])(π2cos[-xTtAy1)写出波动方程的标准式1.0cos22.02.02txymsm--解:例3一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅，，，在时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy轴正方向运动.求1）波动方程0tm0.2m0.1As0.2T一、波动学基础——波动方程30x)msin(πm)0.1(1-])m(π2πcos[m)0.1(1xy--当s0.1tom/ym/x2.01.0-1.0时刻波形图s0.1t解:]2π)m0.2s0.2(π2cos[m)0.1(--xty2）因为例3一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅，，，在时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy轴正方向运动.求0tm0.2m0.1As0.2T一、波动学基础——波动方程2）求波形图.s0.1t31]π)scos[(πm)0.1(1--ty处质点的振动方程m5.0x0m/y1.0-1.0s/t2.0Oy1234******1234处质点的振动曲线m5.0x1.0解:例题一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅，，，在时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy轴正方向运动.求0tm0.2m0.1As0.2T一、波动学基础——波动方程3）处质点的振动规律并做图.m5.0x]2π)m0.2s0.2(π2cos[m)0.1(--xty3）因为32例题一平面简谐波以速度u＝20m/s沿直线传播,波线上点A的简谐运动方程为tyA)sπ4cos()m103(12--1）以A为坐标原点，写出波动方程uABCD5m9mxo8m2）以B为坐标原点，写出波动方程3）写出传播方向上点C、点D的简谐运动方程4）分别求出BC，CD两点间的相位差一、波动学基础——波动方程331）以A为坐标原点，写出波动方程解：)m10s5.0(π2cos)m103(2xty--])(π2cos[-xTtAy一、波动学基础——波动方程m10uTm1032-As5.0T当t＝0，x=0时tyA)sπ4cos()m103(12--034ABABxx---π2105π2--ππB]π)sπ4cos[()m103(12--tyB]π)m10s5.0(π2cos[)m103(2--xty解：2）以B为坐标原点，写出波动方程一、波动学基础——波动方程35点C的相位比点A超前]π2)sπ4cos[()m103(12ACtyC--]π513)sπ4cos[()m103(12--t点D的相位落后于点A]π59)sπ4cos[()m103(12---t21310cos42DADymst--－解：3）写出传播方向上点C、点D的简谐运动方程一、波动学基础——波动方程36π4.41022π2π2-----DCDCxxπ6.1108π2π2-----CBCBxx解：4）分别求出BC，CD两点间的相位差一、波动学基础——波动方程37（一）波的能量、能量密度当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动.同时，介质发生弹性形变，因而具有振动动能和弹性势能。xxOxdxOyyyd以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播。一、波动学基础——波的能量固体棒的截面积为S，长度为l383922kd21d21dvvVmE)(cosuxtAy-)(sinuvxtAty--振动动能)(sind21d222kuxtVAE-xxOxdxOyyyd（一）波的能量、能量密度一、波动学基础——波的能量402Pd21dykE)(sinuxtAuxy--2221ddsin()2-pxEVAtu221ddd()2dpyEuVx22P11dddd()22dyEkyESxx质元的长度为dx，质元长度的增量为dy。弹性势能的推导过程类比弹簧的弹性势能公式xxOxdxOyyyd（一）波的能量、能量密度一、波动学基础——波的能量xSEkd其中S为横截面面积，E为弹性模量Eu波速41体积元的总机械能)(sindddd222pkuxtVAEEE-222p1ddsin()2xEVAtu-讨论体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.体积元的位移最大时，三者均为零.1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均周期性变化，且变化是同相位的.一、波动学基础——波的能量振动动能)(sind21d222kuxtV