《概率论与数理统计》魏魏宗舒版课件1.4

一、几何概型三、小结1.4几何概型和概率的公理化定义二、概率的公理化定义把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型.由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个,概率的古典定义就不适用了.一、几何概率定义,,,,,0(),.m若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的定义1.5当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为)()()(mAmAP说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率..))(,)((几何概率规定的概率称为量来合理这样借助于几何上的度的子区域的度量是构成事件是样本空间的度量其中AAmm几何概型的概率的性质0()1;pA(1)对任一事件A,有210PP()(),();)()()(,,,)3(212121APAPAAPAA个事件对于两两互斥的可列多那末.0,0TyTx两人会面的充要条件为,tyx例1甲、乙两人相约在0到T这段时间内,在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间t(tT)后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.会面问题解,,,刻乙两人到达的时分别为甲设yx故所求的概率为正方形面积阴影部分面积p222)(TtTT.)1(12Ttxoytxytyx若以x,y表示平面上点的坐标,则有tTT蒲丰投针试验例21777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为b(a)的针,试求针与任一平行直线相交的概率.解,,直线的距离到最近的一条平行针的中点表示针投到平面上时　　以MxaxM.夹角表示针与该平行直线的.),(完全确定置可由那么针落在平面上的位x蒲丰资料axM由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题.π0,sin20bx.},|),{(中的所有点一一对应与矩形区域果投针试验的所有可能结020axx中的点满足发生的充分必要条件为针与任一平行直线相交所关心的事件}{A的面积的面积GmGmAP)()()(π2dsin2π0ab.πab2πab2蒲丰投针试验的应用及意义π2)(abAP那么的近似值代入上式作为即可则频率值的次数算出针与平行直线相交很大时当投针试验次数　　根据频率的稳定性,)(,,,APnmmn,π2abnm.2πambn.π的近似值利用上式可计算圆周率历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次数投掷次数针长时间试验者的近似值π1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构,给出了概率的严格定义,使概率论有了迅速的发展.二、概率的公理化定义与性质柯尔莫哥洛夫资料;1)(0,:(1)APA有对于每一个事件有界性;)(,:(2)1P有对于必然事件规范性则有即对于事件是两两互不相容的设,,2,1,,,,,,:(3)21jiAAjiAAji可列可加性)()()(2121APAPAAP概率的可列可加性1.概率的定义1.7:)(.),(,.,满足下列条件如果集合函数的概率称为事件记为赋予一个实数每一事件的对于是它得样本空间是随机试验设PAAPAEE.0)()1(P证明由概率的可列可加性得)()()()()(PPPPP0)(P.0)(P2.性质概率的有限可加性证明,21nnAA令.,2,1,,,jijiAAji由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP1)(kkAP0)(1nkkAP).()()(21nAPAPAP则有是两两互不相容的事件若,,,,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP),()().()()(,,,)3(BPAPAPBPABPBABA则且为两个事件设证明BA,BA因为).(ABAB所以,)(AAB又)()()(ABPAPBP得,0)(ABP又因).()(BPAP故).()()(APBPABP于是).(1)(,)4(APAPAA则的对立事件是设,)(,,1PAAAA因为).(1)(APAP证明)()(AAPP1所以)()(APAP).()()()(,)()5(ABPBPAPBAPBA有对于任意两事件加法公式证明AB由图可得),(ABBABA,)(ABBA且).()()(ABBPAPBAP故又由性质3得因此得AB),()()(ABPBPABBP).()()()(ABPBPAPBAP推广------三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPn个事件和的情况)(21nAAAPnjijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP定义:对于F上的集合函数P，若对于F中的任一单调不减集合序列{An},有lim()(lim)nnnnPAPA则称集合函数P在F上是下连续的，其中1limnnnnAAU定理:若P是F上的非负规范的集函数，则P具有可列可加性的充要条件是（1)P是有限可加的；(2)P是F上是下连续的。解(),iAPB令={第i张封信恰好装进第i个信封}11(),()1niiiPAPAnni=1则所求概率为P(),易知U1111(),;()2(1)(1)2!ijijijnnPAAijPAAnnnnnnnn(匹配问题）某人一次写了封信，又写了个信封，如果他任意地将张信纸装入个信封中，问至少有一封信的信纸和信封是一致的概率是多少？例1同理可得11211()3(1)(2)3!............1(...),!ijKijknnnPAAAnnnnPAAAnn1...(1)nnii=1由概率的一般加法公式得到：111P(A)=1-2!3!n!U解),()()1(BPABP由图示得.21)()(BPABP故)()()()2(APBPABP由图示得.613121.81)()3(;)2(;)1(.)(,2131,ABPBABAABPBA互斥与的值三种情况下求在下列和的概率分别为设事件BAAB例2,)3(ABABA由图示得),()()()(ABPBPAPBAP又),()()(ABPAPBAAP)()()(ABPBPABP因而.838121,ABA且ABAB354,42?例从双不同的鞋子中任取只求只鞋子中至少有只鞋子配成一双的概率是多少成一双只鞋子中至少有两只配设解4A一双只鞋子中恰有两只配成41A双只鞋子恰好配成242A2121AAA且,AA于是)()()()(2121APAPAAPAP则4102541022415]2[CCCCC2113只鞋子都不能配成双设另解4A4104452)(CCAP218)(1)(APAP则21132181例4在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?设A为事件“取到的数能被6整除”,B为事件“取到的数能被8整除”则所求概率为).(BAP)()(BAPBAP)(1BAP)}.()()({1ABPBPAP解,33462000333因为,2000333)(AP所以,8424200083由于.200083)(ABP得于是所求概率为)(BAP200083200025020003331)}()()({1ABPBPAP.43.2000250)(BP故得,25082000由于2.最简单的随机现象古典概型古典概率三、小结1.频率(波动)概率(稳定).n中的样本点总数中包含的样本点数AnmAP)(几何概型)()()(mAmAP几何概率(无限等可能情形)).()()(),()(,,,)5(BPAPBAPBPAPBABA则且为两个事件设4.概率的主要性质,1)(0)1(AP;)(,)(01PP);(1)()2(APAP);()()()(,)4();()()()()3(ABPAPABAPBAPBAABPBPAPBAP－－为两个任意事件，则设Born:25April1903inTambov,Tambovprovince,RussiaDied:20Oct1987inMoscow,Russia柯尔莫哥洛夫资料AndreyNikolaevichKolmogorov