柯西中值定理

§2柯西中值定理和不等式极限一柯西中值定理定理(6.5)设、满足(i)在区间上连续，(ii)在内可导(iii)不同时为零;(iv)则至少存在一点使得柯西中值定理的几何意义曲线由参数方程给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线，则上存在一点P处的切线平行于割线.。注意曲线AB在点处的切线的斜率为，而弦的斜率为.受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：由于，类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数容易验证满足罗尔定理的条件且根据罗尔定理，至少有一点使得，即由此得注2：在柯西中值定理中，取，则公式（3）可写成这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则.这恰恰是罗尔定理.注3:设在区间I上连续，则在区间I上为常数，.三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性1、利用其几何意义要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题：例1：设在（a，b）可导，且在[a，b]上严格递增，若，则对一切有。证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以＜，从而＜注意到，移项即得＜，2、利用其有限增量公式要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式进行思考解题：例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得证：上式左端作辅助函数则上式=，=，其中3、作为函数的变形要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上（介于与之间）此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。例3设在上可导，，并设有实数A＞0，使得≤在上成立，试证证明：在[0，]上连续，故存在]使得==M于是M=≤A≤≤。故M=0，在[0，]上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]（i=1,2,…）上恒有=0,所以=0,。利用柯西中值定理研究函数的某些特性1.证明中值点的存在性:例1设函数在区间上连续,在内可导,则,使得.证在Cauchy中值定理中取.例2设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明:.2.证明恒等式:例3证明:对,有.例4设函数和可导且又则.证明.例5设对,有,其中是正常数.则函数是常值函数.(证明).3.证明不等式:例6证明不等式:时,.例7证明不等式:对，有.4.证明方程根的存在性:证明方程在内有实根.例8证明方程在内有实根.四、小结本节课重点是拉格朗日中值定理及利用它研究函数的某些特性；难点是用辅助函数解决问题的方法。1°拉格朗日中值定理的内容及证明方法要熟练掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是罗尔定理，它的推广是接下来我们要学习的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是沟通函数及其导数的桥梁，是数学分析的重要定理之一。2°构造辅助函数法是应用微分中值定理的基本方法。实际上，辅助函数法是转化问题的一种重要手段，通过巧妙地数学变换，将一般问题化为特殊问题，将复杂问题化为简单问题，这种论证思想也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。关于如何恰当地构造和选用辅助函数问题，请同学们结合第三部分的题目仔细体会总结。二不定式的极限一.型:定理6.6(Hospital法则)若函数和满足：(i)(ii)在点的某空心邻域内而这可导，且；(iii)可为实数，也可为）则(证)注意:若将定理中的x换成，只要相应地求证条件(ii)中的邻域，也可以得到同样的结论。例1例2.例3.(作代换或利用等价无穷小代换直接计算.)例4.(Hospital法则失效的例)二.型不定式极限:定理6.7(Hospital法则)若函数和满足：(i)(ii)在点的某右邻域内二这可导，且；(iii)可为实数，也可为）则例5.例6.註:关于当时的阶.x=5:0.1:50;y1=log(x);y2=x.^(1/2);plot(x,y1,'b',x,y2,'m')右图看出高于clf,x=1:0.1:5;y1=exp(x);y2=x.^2;plot(x,y1,'b',x,y2,'m‘)右图看出高于注意1不存在，并不能说明不存在（为什么？）注意2不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则条件例求极限.(Hospital法则失效的例)三.其他待定型:.前四个是幂指型的.例7例8.例9例10.例11.例12设且求解.例13.