转动惯量

三、转动惯量1.定义：)(21iniirmJ转动惯量是刚体转动惯性的量度，由刚体自身的结构（转轴、质量、形状）决定，与外界因素无关，是刚体的固有性质。oo´aa´2.性质1.转轴、质量一定：转动惯量与刚体的形状即质量的分布有关。2.形状、质量一定：转动惯量与转轴的位置有关。3.形状、转轴一定：转动惯量与刚体的质量有关。4.转动惯量具有可加性。质量连续分布的刚体dmrJ2dldm一维dsdm二维dvdm三维例2.一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量解:dmrJ2(a)取质元dm取半径为r,宽为dr的圆环为质元,则dsdm(b)由定义求J:RrdrrJ022Rdrr032221mRMRMR叠加niiJJJJ121例2求圆柱体绕其中心轴的转动惯量。mi则每个圆盘的转动惯量为221RmJi整个圆柱体对中心轴的转动惯量为2221)21(MRRmJii解：将圆柱体分解为许多质量为mi的圆盘。平行轴定理Jo=Jc+md2例3钟摆对悬挂点的转动惯量。解：杆Jom=（1/3）ml2盘JoM=Jc+Md2=（1/2）MR2+M（R+l）2Jo=Jom+JoM=（1/3）ml2+（1/2）MR2+M（l+R）2lMmO§4—3角动量角动量守恒定律一、质点的角动量1.以v在空间运动的质点（m），它对于惯性参照系中某点的角动量L定义为：XOZYpmrOL)(vmrprL2.讨论（1）vIIr0LXOZYmrOp说明质点作穿过参考点的直线运动，没有绕参考点转动的趋势。例如，子弹相对于枪管，竖直发射的火箭相对于地心。（2）vrmaxLLrmvLmaxXOZYpmrOL说明质点绕参考点转动趋势最大。例如，圆周运动2mrLr（3）当时，动量的一部分引起转动的趋势，另一部分不引起转动的趋势。0090),(0vr注意角动量描述的是物体相对于某一参考点或某一转轴的转动状态。PmAvLp•二、质点的角动量定理及守恒定律1.角动量定理dtLdM1221LLdtMtt定理：质点对某点所受的冲量矩等于质点对该点角动量的增量。注意定理中的L和M都必须对同一参考点而言。2.角动量守恒定律0MCvmrL0M0合F0合F力的作用线过转轴力平行于转轴例1.设一质量为m的滑块在水平面（OZX）内以初速度v0=v0i从原点O出发沿X轴滑动。假设滑块与水平面的摩擦力f=-fi恒定不变，试求任意时刻滑块对原点O以及对Y轴上离原点距离为l的一点A的角动量。XOZYrAlAroLAv0v赤道例2.估算同步卫星的运行高度自解：依题意自=卫卫If卫因为f为有心力0M即Cmr卫2cr卫星作圆周运动卫22mrrMmG32自GMr在地球表面r=R22gRGMRMmGmgT2自34222gRTrT=8.64104sR=6.4103km所以：r=4.2104km卫星轨道高度h=3.6104km赤道自影响卫星定点的因素：1.月日引力2.地球引力不均匀3.太阳辐射压力不断改变卫星轨道的偏心率视频三、质点系的角动量定理和角动量守恒定律1.质点系的角动量定理dtLdM120LLdtMtt外定理作用于质点系的合外力矩对时间的累计等于质点系角动量的增量。2.质点系的角动量守恒定律0外MCvmrLinii)(四、刚体绕定轴转动的角动量定理1.刚体绕定轴转动的角动量virimiJL2.刚体的角动量定理ttLLdtM00定理作用在刚体上的冲量矩等于角动量的增量五、刚体的角动量守恒1.定律：刚体所受的合力矩等于零、或不受外力矩作用时，刚体的角动量保持不变。0MCL2.讨论（1）若J=C，=C（2）若JJCJ00,（3）由质点和定轴转动的刚体组成的体系，当合外力矩为零时，体系的角动量守恒。（4）当转轴改变时，则守恒条件不再成立。转椅节离心节速器.mpg速器视频例3.lmm1v0v一静止悬挂的刚体可绕通过棒上端的轴O转动，棒的质量为m，长为l。另有质量为m1的子弹，以水平速度v0射棒的下端，穿出后的速度v=v0/3。求（1）子弹穿出时棒的角速度。（2）棒达到的最大角度例4.一个质量为M、半径为R的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。在盘的边缘站着一个质量为m的人。两者最初相对静止，求当人沿盘边行走一周时，盘对地面转过的角度。OMmR守恒律与对称能量守恒时间平移不变性动量守恒空间平移不变性角动量守恒空间转动不变性宇称守恒空间反演不变性作业：习题集P17：（一）5，7（二）4，6