多个样本均数比较的方差分析

多个样本均数比较的方差分析南方医科大学生物统计系谭旭辉方差分析方差分析analysisofvariance(ANOVA)•英国统计学家R.A.Fisher•1928年首先提出的统计分析方法方差分析主要内容•方差分析的基本思想和应用条件•完全随机设计的单因素方差分析•随机区组/配伍组设计资料的方差分析•多个均数间的两两比较方差分析•例11-1为了解烫伤后不同时期切痂对肝脏三磷酸腺苷（ATP）含量的影响，将30只雄性大鼠随机分为3组，每组10只；A组为烫伤对照组，B组为24小时切痂组，C组为96小时切痂组。全部动物统一在烫伤后168小时处死，并测定其肝脏的ATP含量，结果如下表，问不同时期切痂对ATP含量有无影响？方差分析A组B组C组合计7.766.6711.1414.1610.858.817.7111.7311.66.948.588.22Xij8.435.7811.4213.017.199.958.476.6113.8514.189.3611.2610.36.9713.5317.729.598.68ni101010308.0412.769.2510.02Ti80.43127.5592.49300.47Qi676.321696.96868.933242.21iXX()X)(2XN方差分析分析资料的基本情况•实验设计:完全随机设计•处理因素：不同时期进行切痂•因素水平：24h切痂、96h切痂、对照•观测指标：ATP含量•目的：通过比较不同处理组肝ATP含量之间的差异是否具有统计学意义，从而判断不同时期进行切痂是否对肝ATP含量有影响。方差分析方差分析的基本思想•根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平方和及自由度分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变异可由某些特定因素的作用加以解释。•通过比较不同来源变异的方差（也叫均方MS），借助F分布做出统计推断，从而判断某因素对观察指标有无影响。方差分析•推广:用A表示研究因素，用Ai表示它的第i个水平数，那上面的例子可以一般化以便推广：方差分析目的：分析A因素的i个水平的处理效应是否有差异具体分析步骤：1.建立假设检验2.分析资料的变异标准差:方差:0123:...kH1:H各组均数不全相等0.05221ixxSn21ixxSn•可以看出分子就是离均差平方和（用SS表示），而分母就是自由度。这样方差计算式就可以写成：•离均差平方和是可以分解的，对于总离均差平方和有:221ixxSSSn221ixxSn方差分析对总离均差平方和进行分解：ss总211211221111112iiiiinkijijnkijiiijnnnkkkijiiijiiijijijssxxxxxxxxxxxxxx总其中交叉项：1120inkijiiijxxxx因此:221111iinnkkijiiijijssxxxx总SS组内SS组间方差分析•而总自由度也可以分解成和。且有:11NkNk总组间组内总组间组内•即：SSSSSS总组间组内方差分析方差均方2SSS组间组间组间2SSS组内组内组内SSMS组间组间组间SSMS组内组内组内方差分析•若用T表示处理效应，用E表示随机误差，那么有•若H0成立即μ1=μ2=μ3，则MS组间/MS组内应该接近于1。若处理因素的作用有效，则MS组间将明显大于MS组内，因此F值将明显大于1，要大到多少才有统计学意义呢？•计算出统计量F，查F界值表得对应的P值，并与进行比较，以确定是否为小概率事件构造统计量F:MSSSFMSSS组间组间组间组内组内组内MSTEFMSE组间组内方差分析F值、P值与结论的关系•F分布是一种偏态分布，F分布有两个自由度，即组间自由度及组内自由度又分别称为分子自由度和分母自由度。•由于方差分析是通过计算F统计量来进行统计检验，所以方差分析又可以叫作F检验。1k组间Nk组内12方差分析•综上即是整个方差分析的基本思想，即方差分析就是根据资料设计的不同类型，将总变异按照变异的不同来源，分解为两个或多个部分，总自由度也分解为两个或多个部分，每个部分的变异可由某因素的作用来解释，通过比较可能由某因素所致的变异与随机误差（比如组内变异），计算F统计量，并通过查F界值表确定P值，从而了解该因素是否对测定结果有影响。方差分析方差分析的应用条件各样本是相互独立的随机样本各样本来自正态分布各样本所来自的总体方差相等，即方差齐同。方差分析完全随机设计的单因素方差分析(one-wayANOVA)方差分析一、完全随机设计是将受试对象随机地分配到各个处理组中进行实验的一种实验设计特点是简单易行，统计分析简单，各组例数可以不等，但要求实验单位有较好的同质性方差分析二、方差分析步骤例11-2（续例11-1）1、建立假设、确定显著性水准αH0：μ1=μ2=μ3(三组大鼠肝脏的ATP含量值无差别)H1：μ1,μ2,μ3不全相等(三组大鼠肝脏的ATP含量值有差别)α=0.052、计算检验统计量F值①计算各组的、∑Xi、∑X2i及总的、∑X和∑X2。iXX②计算C式中N为各组样本含量之和本例C=300.472/30=3009.4074③计算总的变异及总的自由度NXC2)(1,)(2211NCxxxSSkinjiji总总8026.2324074.300921.3242总SS30129总方差分析kiinjijkiiiCnxXXnSSi11212)()(组间222(80.43)(127.55)(92.49)3009.4074101010119.8314SS组间=1312k组间④计算组间变异及相应的自由度方差分析•带入下表，求出相应的MS和F211()inkijiijSSxxSSSS组内总组间232.8026119.8314112.9712⑤计算组内变异及相应的自由度30327Nk组内方差分析完全随机设计的方差分析表变异来源SSνMSFP组间SS组间k-1SS组间/ν组间组内SS总-SS组间N-kSS误差/ν误差总计SS总N-1组内组间MSMS方差分析⑥列出方差分析表变异来源SSνMSF值P值组间119.8314259.91614.32P0.05组内112.9712274.184总计232.802629方差分析3、确定P值、下结论从上表得F=14.32，查附表4（方差分析界值表，单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。因F0.05，2，27=3.35；故P0.05，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，可认为三个不同时期切痂对ATP含量的影响有差别。方差分析的结果只能总的来说多组间是否有差别，具体哪些组间有差别需要进一步做两两比较方差分析随机区组设计/配伍组设计资料的方差分析(two-wayANOVA)方差分析一、随机区组设计相当于配对设计的扩大。具体做法是将受试对象按性质相同或相近者组成b个单位组（配伍组），每个单位组中有k个受试对象，分别随机地分配到k个处理组。这种设计使得各处理组受试对象数量相同，生物学特点也较为均衡。由于减少了误差，试验效率提高了方差分析•例A：为研究注射不同剂量雌激素对大白鼠子宫重量的影响，取4窝不同种系的大白鼠（b=4）,每窝3只，随机地分配到3个组内（k=3）接受不同剂量的雌激素的注射，然后测定其子宫重量，问注射不同剂量的雌激素对大白鼠子宫重量是否有影响？方差分析大白鼠注射不同剂量雌激素后的子宫重量雌激素剂量大白鼠种类0.20.40.8合计A106116145367B4268115225C70111133314D426387192ni(b)44412均数65.089.5120.091.52603584801098和平方和196643437059508113542配伍组设计的变异分解总变异组间变异MSFMS组间组间误差MSFMS配伍配伍误差配伍组变异处理?+随机配伍?+随机误差变异(随机)方差分析1.建立假设、确定检验水准H0：1=2=3雌激素对大白子宫重量无影响H1：1、2、3不相等或不全相等=0.012.计算检验统计量F22()(1098)C10046712XN13075100467113542总SS111121N总方差分析60741004674480358260222处理SS67.645710046731923142253672222配伍SS1,)()(11221bCkxxxkSSbjkiijbjj配伍配伍33.54367.6457607413075误差SS1kbN配伍处理总误差2131k处理314＝＝配伍方差分析随机单位组设计的方差分析表变异来源SSνMSFP处理组间SSGk-1SSG/νG配伍组间SSBb-1SSB/νB误差SST-SSG-SSBN-k-b+1SSE/νE总计SSTN-1EGMSMSEBMSMS方差分析随机单位组设计的方差分析表变异来源SSνMSFP处理组间6074.0023037.0033.540.01配伍组间6457.6732152.5623.770.01误差543.33690.55总计13075.0011方差分析3.确定P值、下结论处理间差别的推断：v处理=2，v误差=6，查表得F0.01，2，6=10.92，因P0.01，按=0.01水准拒绝H0，故可认为三个剂量组对大白鼠子宫重量有影响。配伍组间差别推断：F0.01，3，6=9.78，配伍组间P0.01，按=0.01水准拒绝H0，故认为各配伍组间的总体均数有差别。此设计将配伍组间变异从组内变异中分解出来,减少了误差，较之完全随机设计，试验效率提高了。方差分析配伍组设计的基本思想总变异组间变异CX2CbXijij2)(CXkjiij2)(组内变异配伍组变异误差变异方差分析如果F配伍1，MS配伍MS误差，配伍设计无效(或曰无必要进行配伍设计）应将SS配伍与SS误差合并，v配伍与v误差合并，计算出新的MS误差’，并计算新的F值，再查F界值表，下结论。F处理=MS处理/MS误差F处理’=MS处理/MS误差’方差分析多个样本均数间的两两比较方差分析当方差分析结果为P0.05时，只能说明比较的几个组间总的来说有差别，尚不能说明具体哪两个组间有差别。进行组间的两两比较。若采用两均数间比较的t检验进行两两比较，则会增大犯一类错误的概率。若有3个组比较，设α=0.05，则其不犯一类错误的概率为1-0.05=0.95，比较三次则其不犯一类错误的概率为，此时犯一类错误的概率为1-0.8574=0.1426，远大于预先设定的0.05。30.950.857423c(1-0.05)方差分析SNK检验(Student-Newman-Keuls)q检验适用于多个均数间的两两比较。1.建立假设、确定检验水准H0：μi=μjH1：μi≠μjα=0.052.计算检验统计量（q值）将3个样本均数从小到大顺序排列，并编上秩次方差分析均数8.049.2512.76组别对照组96h组24h组秩次123列出两两比较计算表，共进行3次两两比较jixxjiSxxq)11(2jiXXnnMSSji误差方差分析比较组秩次（1）ijXXa(3)q(4)P(5)1，21.2121.8702p0.051，34.7237.2952P0.052，33.5125.4250P0.05方差分析3.查q值表，确定P值，下结论已知v误差=27，查附表5，按α=0.05水准，