2013级线代试卷A及答案

中南大学考试试卷20013——2014学年第二学期时间：100分钟《线性代数》课程32学时2学分考试形式：闭卷总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设2()3fxx，矩阵3401A，则)(Af=.2、设BA,为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P，使成立，则称A与B相似．3、n元非齐次线性方程组mnAxb有唯一解的充分必要条件是.4、已知二次型323121232221321662355,,xxxxxxxxxxxxf，则二次型f对应的矩阵A=.5、设4阶方阵A满足：0,30,2TAEAAAE(其中E是单位矩阵)，则A的伴随矩阵*A必有一个特征值为.二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A的伴随矩阵为*A，且A的行列式A=3，则*A=（）.（A）81.（B）27.（C）12.（D）9.2、设A、B都是n阶方阵，且A与B有相同的特征值，并且A、B都有n个线性无关的特征向量，则（）。（A）A与B相似.（B）A=B.（C）BA，但0||BA.（D）A与B不一定相似，但||||BA.3、设n阶方阵A为正定矩阵，下面结论不正确的是（）.（A）A可逆.（B）1A也是正定矩阵.（C）0||A.（D）A的所有元素全为正.4、若n阶实方阵2AA，E为n阶单位阵，则（）.（A）()()RARAEn.（B）()()RARAEn.（C）()()RARAEn.（D）无法比较()()RARAEn与的大小.5、设1234123400110111cccc，，，，其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）.（A）123，，.（B）124，，.（C）134，，.（D）234，，.三（本题满分10分）计算n（2n）阶行列式nxaaaxaDaax，nD的主对角线上的元素都为x，其余位置元素都为a，且xa.四（本题满分10分）设3阶矩阵,AB满足关系：1100216,0041007ABAABAA且,求矩阵B.五（本题满分10分）设方阵A满足220AAE(其中E是单位矩阵)，求11,(2)AAE.六（本题满分12分）已知向量组A：11412，22131，31541，43670，（1）求向量组A的秩；（2）求向量组A的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）设矩阵11111A与矩阵000010002B相似，（1）求,；（2）求正交矩阵P,使1PAPB.八（本题满分14分）设有线性方程组为23112131231222322313233323142434xaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa（1）证明：若1a，2a，3a，4a两两不等，则此方程组无解.（2）设13aak，24aak（0k），且已知1，2是该方程组的两个解，其中1(1,1,1)T，2(1,1,1)T，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、-2086；2、1PAPB；3、()(,)RARAbn；4、513153333；5、43二、选择题（每小题3分，共15分）BADCC三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）解：后面1n列都加到第1列，得(1)(1)(1)nxnaaaxnaxaDxnaaxxaaxaaanxanxc111])1([])1([1])1([)(0101001])1([1)()()(1223anxaxaxaxanxncaccaccacnn.四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）解：111121166()6416327161BAE.五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）解：212022AEAEAAEAEA.22212112()202(2)()(4AEAAEAEAAEAA）或34EA六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）解：12131011415601121347000021100000，12()2,,RA为所求的一个最大线性无关组，且312412,2.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由,AB相似知，,AB有相同的特征值，而B的特征值为0,1，2，故得A的特征值为1230,1,2，从而有0010EAEA，由此解得0，=0.（2）对于10，解00EAX，得特征向量101，单位化得：210211p；对于21，解0EAX，得特征向量为0101p；对于32，解20EAX，得特征向量为101，单位化得：210211p令2102101021021,,321pppP，则P为正交阵，且使1PAPB.八、（本题满分14分，见教材P87例3.13）解：（1）增广矩阵B的行列式是4阶范德蒙行列式：231112322223143332344411||()11jiijaaaaaaBaaaaaaaa由于1a，2a，3a，4a两两不等，知||0B，从而()4RB，但系数矩阵A的秩()3RA，故()()RARB，因此方程组无解.（2）13aak，24aak（0k）时，方程组变为23123231232312323123xkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxk即2312323123xkxkxkxkxkxk因为1201kkk，故()()2RARB，所以方程组有解，且对应的齐次方程组的基础解系含3-2=1个解向量，又1，2是原非齐次方程组的两个解，故21(2,0,2)T是对应齐次方程组的解；由于0，故是它的基础解系。于是原非齐次线性方程组的通解为1121012Xcc，c为任意常数.