高中数学-必修二-圆与方程-经典例题--整理

1习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(baC和半径r，即得圆的标准方程222)()(rbyax；已知圆的标准方程222)()(rbyax，即得圆心),(baC和半径r，进而可解得与圆有关的任何问题.一、求圆的方程例1以点)1,2(为圆心且与直线0543yx相切的圆的方程为()(A)3)1()2(22yx(B)3)1()2(22yx(C)9)1()2(22yx(D)9)1()2(22yx二、位置关系问题例2直线1yx与圆0222ayyx)0(a没有公共点，则a的取值范围是()(A))12,0((B))12,12((C))12,12((D))12,0(三、切线问题例3(06重庆卷理)过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线方程为()(A)xy3或xy31(B)xy3或xy31(C)xy3或xy31(D)xy3或xy31四、弦长问题例4设直线03yax与圆4)2()1(22yx相交于BA、两点，且弦AB的长为32，则a.五、夹角问题例5从圆012222yyxx外一点)2,3(P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()(A)21(B)53(C)23(D)0六、圆心角问题例6过点)2,1(的直线l将圆4)2(22yx分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k.七、最值问题例7圆0104422yxyx上的点到直线14yx0的最大距离与最小距离的差是()(A)30(B)18(C)26(D)25八、综合问题例8若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是()(A)]4,12[(B)]125,12[(C)]3,6[(D)]2,0[2圆的方程1.确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中(a，b)是圆心坐标，r是圆的半径；(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心坐标为(2,2ED)，半径为r＝2422FED2.直线与圆的位置关系的判定方法.(1)法一：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.消元0022FEyDxyxCByAx一元二次方程相离相切相交判别式000(2)法二：直线：Ax＋By＋C＝0；圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心(a，b)到直线的距离为d＝相离相切相交rdrdrdBACBbAa22.3.两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，｜O1O2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：｜O1O2｜＞r1＋r2两圆外离；｜O1O2｜＝r1＋r2两圆外切；｜r1－r2｜＜｜O1O2｜＜r1＋r2两圆相交；｜O1O2｜＝｜r1－r2｜两圆内切；０＜｜O1O2｜＜｜r1－r2｜两圆内含.●点击双基1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是A.－1t71B.－1t21C.－71t1D.1t22.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是A.｜a｜＜1B.a＜131C.｜a｜＜51D.｜a｜＜1313.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r0），下列结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当br时，圆与x轴相交●典例剖析【例2】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程.3夯实基础1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0D.D+E+F=02.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条D.4条3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的距离的最小值为____________.5.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP·OQ=0.（1）求m的值；（2）求直线PQ的方程.培养能力7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系.“求经过两圆04622xyx和028622yyx的交点，并且圆心在直线04yx上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：方法—：先求出两已知圆交点2,6,3,121AA，再设圆心坐标为),4(bbB，根据rBABA21，可求出圆心坐标及半径r，于是可得所求圆方程。方法二：先求出两已知圆交点2,6,3,121AA，再设所求圆的方程为：022FEyDxyx,其圆心为22,ED，代入04yx，再将A1,A2两点坐标代入所设圆的方程，可得三个关于D,E,F的三元一次方程组，求出D,E,F的值，这样便可得所求圆的方程。但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解，可以更加方便。4经过两已知圆的交点的圆系设圆C1与C2的方程为：C1:011122FyExDyxC2:022222FyExDyx.并且两圆相交于两点。引进一个参数，并令：11122FyExDyx+（22222FyExDyx）=0——①其中-1。引进两个参数1和2，并令：1（11122FyExDyx）+2（22222FyExDyx）=0——②其中1+20不论参数取何值，方程①与②中的x2项和y2项的系数相等，方程没有xy项，而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②，所以①与②都是经过两已知圆的交点的圆系，但是①与②稍有不同：⑴当=0时，方程①的曲线就是圆C1;不论为何值，方程①的曲线都不会是圆C2。所以方程①表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1在内，但不包括圆C2。⑵当1=0时，方程②的曲线就是圆C2；当2=0时，方程②的曲线就是圆C1。所以方程②表示经过两已知圆的交点的一切圆，包括圆C1和圆C2在内。下面应用圆系来解本文前面的问题：设经过已知两圆的交点的圆的方程为：0)286(462222yyxxyx.（-1）则其圆心坐标为)13,13(∵所求圆的圆心在直线04yx上∴13+13－4=0，解得=-7∴所求圆的方程为：4622xyx－70)286(22yyx即：032722yxyx下面再举两例说明圆系的应用例1．求经过两已知圆：06422xyx和06422yyx的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。例2．设圆方程为：016448)4012()42()4()4(22yxyx其中－4求证：不论为何值，所给圆必经过两个定点。5直线与圆的位置关系二、例题选析例1：求由下列条件所决定圆422yx的圆的切线方程；(1)经过点)1,3(P，(2)经过点)0,3(Q，(3)斜率为1例2：已知点),(00yxP在圆022FEyDxyx的外部，过P作圆的切线，切点为M，求证FEyDxyxPM002020。例3：从圆外一点),(baP向圆222ryx引割线，交该圆于A、B两点，求弦AB的中点轨迹方程。备选例题：例4*：已知对于圆1)1(22yx上任意一点),(yxP，不等式0myx恒成立，求实数m的取值范围。6轴对称例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。例3、已知ΔABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B、∠C的平分线的分别方程为02yx和01yx，求BC所在的直线方程。直线和圆1．自点（－3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆074422yxyx相切，求光线L所在直线方程．2．已知圆C：044222yxyx，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，73．（12分）求过点P（6，－4）且被圆2220xy截得长为62的弦所在的直线方程．4．（12分）已知圆C:252122yx及直线47112:mymxml.Rm（1）证明:不论m取什么实数,直线l与圆C恒相交；（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．5（12分）已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．6.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-23，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴交于点M、N.∠MAN是否为定值？若为定值，求出∠MAN的弧度数；若不为定值，说明理由.87．（14分）已知圆2260xyxym和直线230xy交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．8．（14分）求圆心在直线0xy上，且过两圆22210240xyxy，22xy2280xy交点的圆的方程．9．(12分)已知一个圆截y轴所得的弦为2，被x轴分成的两段弧长的比为3∶１．（1）设圆心为（a，b），求实数a，b满足的关系式；（2）当圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时，求圆的方程．10已知圆C与圆0222xyx相外切，并且与直线03yx相切于点)3,3(Q，求圆C的方程新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆911.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为55，求该圆的方程.12.（1997全国理，25）设圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.13.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为．经过两已知圆的交点的圆系及应用在高中数学第二册（上）第82页有这样一道题：“求经过两圆04622xyx和028622yyx的交点，并且圆心在直线04yx上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解：方法—：先求出两已知圆交点2,6,3,121AA，再设圆心坐标为),4(bbB，根据rBABA21，可求出圆心坐标及半径