二重积分概念

第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分机动目录上页下页返回结束复习定积分定义“大化小,常代变,近似和,取极限”baxxfd)(iniixf10)(lim定积分仅与什么有关?定积分的几何意义是什么?可积的一个充分条件是?定积分的性质有几条?偶倍奇零是什么?旋转体的体积公式?点的累积可以成线,线的累积可以成面,那么面的累积可以成什么?三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质第十章解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”D机动目录上页下页返回结束D1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域n,,,21以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”nkkkkf1),(),(kkf),,2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动目录上页下页返回结束4)“取极限”kk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(kkfk),(kk机动目录上页下页返回结束2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则M若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域,,,,21n相应把薄片也分为小区域.D机动目录上页下页返回结束yx2)“常代变”中任取一点k在每个),,(kk3)“近似和”nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束yx两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束二、二重积分的定义及可积性定义:),(yxf设将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分.称为积分变量yx,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,),(yxf也常,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动目录上页下页返回结束二重积分的几何意义是?机动目录上页下页返回结束二重积分的数值取决于哪两个条件?练习:1、用重积分表示球：2222azyx的体积。2、用重积分表示椭球：1222222czbyax的体积。3、用重积分表示平面2zyx和三坐标面所围成几何体的体积。二重积分存在定理:若函数定理2.定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,yxyxyxf22),(在D:10x10y上二重积分存在;yxyxf1),(但在D上y1xo1D二重积分不存在.机动目录上页下页返回结束三、二重积分的性质(二重积分的几何意义是?)Dyxfkd),(.1(k为常数)21d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxfDDdd1为D的面积,则Dyxfkd),(机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束dxdyD310,11:yxD练习1计算其中?dxdyxD10,10:yxD猜想其中特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设D的面积为,MyxfmDd),(则有机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)),(),(fdyxfD证:由性质6可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理,至少有一点Dyxffd),(1),(在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束例1.比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解:积分域D的边界为圆周1yx332)()(yxyx它与x轴交于点(1,0),而域D位,1yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,故在D上1y2xo1D机动目录上页下页返回结束例2.判断积分的正负号.解:分积分域为,,,321DDD则原式=yxyxDdd11322yxyxDdd123221ddDyx)34(2323D32D11Dyxo0)21(3猜想结果为负但不好估计.舍去此项机动目录上页下页返回结束例3.估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解:D的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即:1.96I210101010D10011021xyo机动目录上页下页返回结束xyoD例4.设函数D位于x轴上方的部分为D1,),,(),()1(yxfyxf),,(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍1D在D上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动目录上页下页返回结束xbad][四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取平面故曲顶柱体体积为DyxfVd),(截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0xD机动目录上页下页返回结束ydcxo)(2yx)(1yxyydcd][dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21机动目录上页下页返回结束.]1,0[)(),()(),(,10,10:,dd),(上连续在形区域是正方其中计算二重积分xfyfxfyxfyxDyxyxfD练习2}10,10),({yxyxDx型区域采用因此xyyfxfyxyxfDd]d)()([dd),(10101010d)(d)(xxfyyfxxfyyfd)(]d)([1010210]d)([xxf解机动目录上页下页返回结束dxdyeDyx10,10:yxD练习3计算其中机动目录上页下页返回结束例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022机动目录上页下页返回结束内容小结1.二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法机动目录上页下页返回结束被积函数相同,且非负,思考与练习yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解:321,,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1.比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0y1,则,d31DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示:因0y1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxyyox1D机动目录上页下页返回结束3.计算解:)cos(yx0220yd20d]cos[sinyyyyysincos202机动目录上页下页返回结束4.证明:其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有d)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxx又D的面积为1,故结论成立.yox1D1机动目录上页下页返回结束5.04.0I备用题1.估计的值,其中D为DxyyxI162d22.20,10yx解:被积函数16)(1),(2yxyxf2D的面积的最大值),(yxfD上在),(yxf的最小值,4252I故yox2D1机动目录上页下页返回结束220yx0)ln(22yx2.判断的正负.)0(dd)ln(122yxyxyx解：1yx当时，故0)ln(22yx又当时，1yx于是2)(yx1机动目录上页下页返回结束0dd)ln(122yxyxyx1111xyoD