中南大学线性代数PPT1-习题课

把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）．nn个不同的元素的所有排列的种数用表示，且．nnP!nPn１全排列逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．nstiiiii21stii一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．２逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．方法2方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和，即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．n,n,,,121n,n,,,121nn３计算排列逆序数的方法定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．４对换npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211５n阶行列式的定义.,,2,1;;,,2,12121列取和的所有排表示对个排列的逆序数为这的一个排列为自然数其中ntnppppppnn.,)1(21212121的逆序数为行标排列其中亦可定义为阶行列式ppptaaaDDnnnpppppptnn.,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式等于用数一数中所有的元素都乘以同列行列式的某一行等于零则此行列式完全相同列如果行列式有两行行列式变号列互换行列式的两行即式相等行列式与它的转置行列kk６n阶行列式的性质.,)(,)()8.,)()7.,)()6.)()5行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列式之和此行列式等于两个行列则的元素都是两数之和行若行列式的某一列式为零则此行列元素成比例列行列式中如果有两行提到行列式符号的外面以的所有元素的公因子可列行列式中某一行１）余子式与代数余子式.,)1(1的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作阶行列式叫做元素列划去后，留下来的行和第所在的第阶行列式中，把元素在aAMAManjianijijijjiijijijij７行列式按行（列）展开２）关于代数余子式的重要性质.,0;,1.,0;,.,0;,11jijijijiDDAajijiDDAaijijjknkikijkinkki当当其中　　　当当或当当８克拉默法则.,,,2,1.,,2,1,,0.,,122112222212111212111所得到的行列式，换成常数项列中第）是把系数行列式（其中那么它有唯一解的系数行列式如果线性方程组２bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn克拉默法则的理论价值.,0.,,22112222212111212111唯一那么它一定有解，且解的系数行列式如果线性方程组Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn.必为零解，则它的系数行列式解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理定理.,0.0,0,0221122221211212111那么它没有非零解的系数行列式如果齐次线性方程组Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn.它的系数行列式必为零组有非零解，则如果上述齐次线性方程定理定理一、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式三、克拉默法则典型例题分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数．.,13232221212并讨论奇偶性的逆序数求排列kkkkkk解例１一、计算排列的逆序数;0,2故逆序数为排在首位k;1),2(11故逆序数为大的数有一个的前面比k;1),2()12()12(逆序数为故大的数有一个的前面比kkk;2),12,2(22数为故逆序大的数有两个的前面比kk;2),12,2(2222故逆序数为大的数有两个的前面比kkkk;1),2,,12,2(111kkkkkkk故逆序数为个大的数有的前面比;1),2,,12,2(111kkkkkkk故逆序数为个大的数有的前面比;),1,,12,2(kkkkkkk故逆序数为个大的数有的前面比kkkt1122110kkk211122k当为偶数时，排列为偶排列，k当为奇数时，排列为奇排列．k于是排列的逆序数为１用定义计算（证明）例２用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD二、计算（证明）行列式的非零元素分别得到行可能中第那么，由行的元素分别为中第设5,4,3,2,1,,,,,5,4,3,2,1554321554321DaaaaaDppppp解.3,2;3,2;5,4,3,2,1;5,4,3,2,1;3,254321ppppp.05,,,,,554321Dppppp故元排列也不能组成，一个在上述可能取的代码中因为评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．.2于零还多，则此行列式必等素比阶行列式中等于零的元如果一个nnn注意例３设,2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn,221122222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn.2DD１证明：证明由行列式的定义有.,)1(2121121的逆序数是排列其中ppptaaaDnpnpptn.,)1()())(()1(21)()21(212211221212211的逆序数是排列其中ppptbaaabababaDnpppnpnpptpnpnpppptnnnn,212npppn１而.)1(121221DaaaDpppnnt所以　　评注本题证明两个行列式相等，即证明两点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法．２利用范德蒙行列式计算例４计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.333222111222nnnDnnnn，于是得到增至幂次数便从则方若提取各行的公因子，递升至而是由变到序排列，但不是从次数自左至右按递升次方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个10.1,10,nnnDn解.1333122211111!121212nnnnDnnnn上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知!.1!2)!2()!1(!)]1([)2()24)(23()1()13)(12(!)(!1nnnnnnnnxxnDjinjin评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．３用化三角形行列式计算例５计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn解列都加到第一列，得将第1,,3,2nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin后一列，得倍加到最列的将第列，倍加到第列的列，将第倍加到第列的将第２)(1,3)(12)(11aaan.)()(11niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin23122121111010010001)(评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．，得提取公因子行中行，并从第行都加到第、、的第将dcbaD114324４用降阶法计算例６计算.4abcdbadccdabdcbaD解,1111)(4abcdbadccdabdcbaD列，得列都减去第、、再将第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD行展开，得按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD，得中提取公因子行行，再从第行加到第把上面右端行列式第dcba112,011))((dadbdccbcacddcbadcbaD４列，得列减去第再将第12行展开，得按第1])()([))((22cbdadcbadcba))(())((dcbadcbadcbadcba,001))((4dacbdccbdacddcbadcbaDdacbcbdadcbadcbaD))((４评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．５用拆成行列式之和（积）计算例７证明.02sin)sin()sin()sin(2sin)sin()sin()sin(2sin证.0000sinsinsincoscoscos0cossin0cossin0cossin左边６用递推法计算例８计算.21xaaaaxaaaaxaDnn解拆成两个行列式之和列把依第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121.000121xaaaxaaaaxaaaaxann.1121DxaxxxDnnnn从而得列展开第右端的第二个行列式按列加到第倍分别列的将第右端的第一个行列式,,1,,2,1)1(,nnn,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn由此递推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn１于是如此继续下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121１)(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn１).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn时，