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高等数学(2)标准化作业题参考答案—第十章班级姓名学号第十章重积分第一节二重积分的概念与性质一、填空题1.二重积分的定义是对有界闭区域上的有界函数而说的，当和式的极限0limλ→()1,niiiifξησ=Δ∑存在时，二重积分存在，对于闭区域上的连续_函数，二重积分一定存在.2.设曲顶柱体的顶部曲面函数(,)zfxy=，它的底部区域为，则曲顶柱体的体积表示D为(,)dσ∫∫Dfxy.3.设{}22(,)1Dxyxy=+≤，则dDσ=∫∫π.4.由二重积分几何意义，222ddDaxyxy−−=∫∫3π6a.（为D222xya+≤，）.0,0,0xya≥≥≥提示：当时，(,)0fxy≥(,)dDfxyσ∫∫表示以为底，以曲面D(,)zfxy=为顶的曲顶柱体的体积.5.设一平面薄片在xoy面内占的区域为，且其密度函数D221(,)()2uxyxy=+，则此薄片的质量表示为221()d2Dxyσ+∫∫二、单项选择题1．()01(,)dlim,niiiiDfxyfλσξησ→==Δ∑∫∫中λ是D.A.最大小区间长B.小区域最大面积C.小区域直径D.小区域最大直径54高等数学(2)标准化作业题参考答案—第十章班级姓名学号三、解答题1.利用二重积分性质估计积分()222ddDIxyx=++∫∫y的值，其中1xy+≤.解：∵01xy≤+≤，∴2221xyxy++≤，即2212xyx+≤−y，∴2222323()xyxy≤++≤−≤，()224222d3d326DDIσσ==≤≤==∫∫∫∫，∴即46I≤≤.2.根据二重积分的性质，比较2()dDxyσ+∫∫与3()dDxyσ+∫∫的大小，其中由圆周D22(2)(1)xy−+−=22)围成.解：，即22(2)(1)xy−+−≤∵22(1)22(xyx−++≤+y，∴22(1)11()2xyxy−+≤+≤23()+，()yxy+≤+，故23()d()dDDxyxyσσ+≤+∫∫∫∫.x第二节二重积分的计算法（一）一、填空题1.设积分域由Dx轴，直线1x=及曲线2yx=所围成，其型的不等式表示为X-201,0xyx≤≤≤≤，型的不等式表示为Y-01,yyx1≤≤≤≤.2.设为直线Dyx=及抛物线24yx=所围成的闭区域，化二重积分(,)ddDfxyxy∫∫为直角坐标下的二次积分为420d(,)xxdxfxyy∫∫.（或者240d(,)yyyfxy∫∫4dx）3.设是由两条抛物线Dyx=，2yx=所围成的闭区域,则dxyDσ=∫∫655.提示：D：201,xxyx≤≤≤≤.4.积分2220dedyxxy−∫∫的值等于()411e2−−.55高等数学(2)标准化作业题参考答案—第十章班级姓名学号提示：原式=()22222224000011dededed()1e22yyyyyxyyy−−−==−−=−∫∫∫∫−.5.曲面，0z=1xyz++=，所围成立体的体积可用二重积分表示为221xy+=221d,:DxyDxyσ−−+≤∫∫1.6．设220d(,)xxdIxfxy=∫∫y，改变积分次序，则I=2420222d(,)dd(,)dyyyyfxyxyfxyx+∫∫∫∫.二、单项选择题1.已知1100()d()dfxxxfxx=∫∫，则()ddDfxxy∫∫（其中:1,0,Dxyxy0+≤≥≥）等于B.A.B.C.2012D.1提示：，则:01,01Dxy≤≤≤≤−x1100()ddd()dxDfxxyxfxy−=∫∫∫∫.111000(1)()d()d()d0xfxxfxxxfxx=−=−=∫∫∫2.设是DxOy面上以，(1(1,1),1)−和为顶点的三角形区域，是在第一象(1,1)−−1DD限的部分，则(cossin)ddDxyxyxy+=∫∫A.A.12cossinddDxyxy∫∫B.12ddDxyxy∫∫C.14(cossin)ddDxyxyx+∫∫yD.03．设是以，，，为顶点的梯形所围成的闭区域，则D(0,0)O(1,0)A(1,2)B(0,1)C(,)dDfxyσ∫∫化成二次积分是C.A.1101d(,)xdxfxyy+∫∫B.1201d(,)xdxfxyy+∫∫C.D.11210011d(,)dd(,)dyyfxyxyfxyx−+∫∫∫∫11210001d(,)dd(,)dyyfxyxyfxyx−+∫∫∫∫4.设10()dfxxa=∫，{}(,)01,01Dxyxy=≤≤≤≤则()()ddDfxfyxy=∫∫B.56高等数学(2)标准化作业题参考答案—第十章班级姓名学号A.B.C.a2a212aD.0提示：()()ddDfxfyxy=∫∫11200()d()dfxxfyya=∫∫.三、计算题1.计算ddDxyxy∫∫，其中是由直线与抛物线D1yx=−226yx=+所围成的闭区域.解：26:24,12yDyxy−−≤≤≤≤+，原式ddDxyxy==∫∫241232ddyyyyxx+−−∫∫214256443243222322112d428d42242324yyxyyyyyyyyyyy+−−−−⎛⎞⎛⎞⎡⎤==+−−=+−−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫36=图10-1图10-22.计算2ddDxyxy∫∫，其中是由及D221xy−=0,1yy==所围成的平面区域.解：如图10-1：22:01,11Dyyxy≤−+≤≤+，故22112201ddddyyDxyxyyyxx+−+=∫∫∫∫≤221133311122222000102112d(1)d(1)d(1)(1)33335yyxyyyyyyyy+−+522⎡⎤⎡⎤==+=++=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫∫∫2(421)15=−.3.设是以,和为顶点的三角形区域，求D(0,0)O(1,2)A(2,1)BddDxxy∫∫.解：如图10-2：:2;:;:32xyxOByAByxOA==−+12DDD，∴=∪x≤≤，D，1:01=57高等数学(2)标准化作业题参考答案—第十章班级姓名学号2;2xyx≤≤2:12,32xDxyx≤≤≤≤−，121202ddddddddxxDDD∫xxyxxyxxyxxy=+=∫∫∫∫∫∫∫12231223210120133131ddd3d22222xxxxyxxxxxxxx−⎛⎞⎡⎤⎡⎤+=+−=+−⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎣⎦∫∫∫∫332=.第二节二重积分的计算法(二)一、填空题1.设由x轴,22=−yxx围成的积分区域用极坐标型的不等式表示为Dπ0,02co2sθρθ≤≤≤≤.2.设是D{}22(,)14xyxy≤+≤,则积分(,)ddDfxyxy∫∫表示为极坐标形式的二次积分为()2π201dcos,sindf∫∫dθρθρθρρθ.提示：用极坐标表示:02π,12Dθρ≤≤≤≤.3.化()23220dxxdxfxy+∫∫y为极坐标形式的二次积分为π2sec3π04d()fθdθρρρ∫∫.二、单项选择题1.设区域{}222(,),0,0Dxyxyaay=+≤≥，则()22dd=Dxyxy+∫∫A.A．π300dadθρρ∫∫B．π200ddaθρρ∫∫C.π32π02dadθρρ−∫∫D.π22π02ddaθρρ−∫∫2.二次积分πcos200d(cos,sin)fθdθρθρθρ∫∫ρ可以写成D.A.2100d(,yyyfxy−∫∫)dxB.21100d(,yyfxy−∫∫)dxC.1100d(,)dxfxyy∫∫D.2100d(,xx)dxfxyy−∫∫58高等数学(2)标准化作业题参考答案—第十章班级姓名学号3.设积分区域：D224xy+≤，则22eddxyD=xy+∫∫C.A.4π(e1)2−B.42π(e1)−C.4π(e1)−D.4πe三、计算题1.计算22ddDxyxy+∫∫,其中{}22(,)0,2Dxyyxxyx=≤≤+≤.解：如图10-3，π:0,02cos4Dθρ≤≤≤≤θ，原式π2cos22400ddddDθρρθθρρ==∫∫∫∫2cosππ334400018dcosd33θρθθθ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∫∫1029=.2.计算()22ddDxyx+∫∫y,其中：D2224xxyx−≤≤−.解：如图10-4，π:0,2cos22Dθθρ≤≤≤≤，原式=π223202cosddddDθρρρθθρρ=∫∫∫∫2πππ44422220002cos11d2(1cos)d4(1cos)sind44θ2ρθθθθ⎡⎤==−=+⎢⎥⎣⎦∫∫∫θθπ2051πsin2sin428θθθ⎡⎤=−−=⎢⎥⎣⎦54.yy2ρ=yx=DD2cosρθ=OOx22x图10-3图10-43．计算(1)ddDxyx+∫∫y1,其中：.D22(1)xy+−≤解：法一：如图10-5，:0π,02sinDθρθ≤≤≤≤，原式=cos(sin1)ddDρθρθρρθ+∫∫=π2sin2200cos(sin1)dddcos(sin1)dDθρθρθρθθρθρθρ+=+∫∫∫∫59高等数学(2)标准化作业题参考答案—第十章班级姓名学号2sinππ4353000118cossindcos4sinsind433θθρθρθθθθ⎡⎤⎛=+=+⎜⎟⎢⎥⎣⎦⎝∫∫θ⎞⎠()ππ536400824sinsindsinsinsin033θθθθθ⎛⎞⎡=+=+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣∫⎤=⎦.yy21D2sinρθ=D1xO232D－1O1x图10-6图10-5法二：根据对称性定理，知被积函数对(1xy+)x是奇函数，区域关于Dy轴对称，所以.(1)ddDxyxy+=∫∫0d4．计算22|4|dDxyx+−∫∫y，其中是区域D229xy+≤.解：如图10-6，12DDD=∪，，221:4Dxy+≤222:49Dxy≤+≤，原式()()()121222224dd4dd4ddDDDxyxyxyxyρρρθ=−−++−=−∫∫∫∫∫∫22(4)ddDρρρθ+−∫∫2π22π333000241πd(4)dd(4)d2θρρρθρρρ=−+−∫∫∫∫=．第三节三重积分一、填空题1.若，，则(,,)1fxyz=222:1xyzΩ++≤(,,)d=fxyzv∫∫∫Ω4π3.提示：的体积.d=vΩΩ∫∫∫2.22()ddd=xyxyzΩ+∫∫∫16π3，其中由曲面Ω222xyz+=和平面围成.2z=60高等数学(2)标准化作业题参考答案—第十章班级姓名学号3.设是由平面Ω0,(0)zzhh==及柱面222(0xyaxa)+=围成的，则22dxyVΩ+∫∫∫可用柱面坐标下的三次积分表示为π2cos22π002ddahzθθρρ−d∫∫∫.4.2221()dddxyzfxxyz++≤∫∫∫可用球面坐标下的累次积分表示为2ππ12000dd(sincos)sindfrrrθϕϕθ∫∫∫ϕ.二、单项选择题1.设，则三重积分222:2(xyzazaΩ++≤0)d22()xyvΩ+∫∫∫化为球面坐标下的三次积分时，I=C.A.π2π2cos222000ddsindarrrϕθϕϕ⋅∫∫∫B.π2π2222000ddsindarrrθϕϕ⋅∫∫∫C.π2π2cos432000ddsindarϕrθϕ∫∫∫ϕD.2ππ2cos43000ddsindarrϕθϕϕ∫∫∫三、计算题1.计算dxvΩ∫∫∫，其中Ω是由三个坐标平面与平面21xyz++=所围成的闭区域.解：1:01,0,0122xxyzxy−≤≤≤≤≤≤−−Ω，原式11122000dddxxyxyx−−−=∫∫∫z11211122200000(1)1d(12)d(1)dd44xxxxxxyyxxyyxxx−−−⎡⎤=−−=−−=⎣⎦∫∫∫∫8=.2.求由曲面2222xyz++=z2及22xyz+=（含有轴的部分）所围成立体的体积V.z解：如图10-7，22π11100ddddπVVz+−==∫∫∫∫∫∫ρρΩθρρ，z=222(1)xyz++−=1Ω或者π2π2cos24000dddsindπVvrrϕΩθϕϕ===∫∫∫∫∫∫.222zxy=+1yOx61图10-7高等数学(2)标准化作业题参考答案—第十