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变量之间的关系复习变量之间的关系、表达方法知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1变量、自变量、因变量(1)在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。(2)在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。则T为自变量，路程为因变量。◆要点2列表法与变量之间的关系(1)列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。(2)从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点3用关系式表示变量之间的关系(1)用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。(2)写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。(3)利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。◆要点4用图象法表示变量的关系(1)图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。(2)通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。(3)从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。(4)对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”①表示物体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动，“下降的线段”③表示物体反向运动。如图BL—01(1)、(2)：易错易混点(1)在列表中，不能够通过表格中的数据全面得出两个变量之间的关系规律，易出现片面性错误；(2)有的变量是由不变量与变量之和组成的，在解题时易忽略不变部分（在个别问题中，一定条件下变量也可能成为不变量）而导致错误；BL—01典型例题【例1】果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与经过的时间有如下的关系：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果果子经过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？相关题型：在弹性限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：所挂物体的质量/kg012345678弹簧的长度/cm1212.51313.51414.51515.516(1)弹簧不挂物体时的长度是多少？(2)如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？请写出y与x之间的关系式。(3)如果此弹簧的最大挂重为25千克，您能够预测当挂重为14千克时，弹簧的长度是多少吗？【例2】一辆汽车正常行驶时每小时耗油8升，油箱现有52升汽油。(1)如果汽车行驶时间为t(时)，那么油箱中所存油量Q(升)与t(时)的关系式是什么？(2)油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？(3)当t的值分别为1，2，3时，Q相应的值是多少？【例3】一个梯形，它的下底长比上底长长2cm，它的高为3cm，设它的上底长为xcm，它的面积为ycm2。(1)写出y与x之间的关系式，并指出哪个变量是自变量，哪个变量是因变量？(2)当x由5变到7时，y如何变化？(3)用表格表示当x从3变到10时(每次增加1)，y的相应值；(4)当x每增加1时，y如何变化？并说明你的理由；(5)这个梯形的面积能等于9cm2吗？能等于2cm2吗？为什么？相关题型：长方形的长是20cm，当宽由小到大地变化时，长方形面积也随之变化。(1)在这个变化过程中，自变量是____________，因变量是___________。(2)如果长方形的宽为acm，面积为Scm2，则S与a之间的关系式为_________。(3)当a=15cm时，S是__________。(4)当面积S是280时，这时的宽a是______________。【例4】小丽和她的邻居小明一起离家步行上学。(1)小丽一开始就跑，跑累了便走着去，小明开始走着，当他快到学校时跑了起来，他们同时到达学校。图BL—02中，图________表示小丽的行程，图______表示小明的行程最好。(2)若小丽在上学的路上以固定的速度前进，如图BL—03中虚线所示，小明在上学的路上以小丽速度的2倍行进，小名的速度以实线表示，他们先后到达学校，则图______可以描述这种情况。BL—02相关题型：小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，如图BL—04中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用的时间t（分）之间的关系（）【例5】某中学校长决定带领市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社承诺：“如果校长买全票一张，则学生可享受半价优惠”；乙旅行社承诺：“包括校长在内所有人按全票的6折优惠”，若全票价甲乙旅行社均为240元。(1)设学生为x，甲乙旅行社收费分别为y甲(元)和y乙(元)，分别写出两个旅行社收费的关系式；(2)哪家旅行社收费更优惠？【例6】某移动通信公司开设了“全球通”和“金卡快捷通”两种业务，前者每月先缴30元月租费，每通话1分钟付费0.4元，后者不缴月租费，但每分钟付费0.6元，若某人的每月通话时间在200分钟左右，则他应选用哪种业务比较合算？并简明叙述理由。（思路1：直接计算200分钟应付的话费进行比较；思路2：先求出付费相同的通话时间，再看200分钟比这个时间多还是少。）参考答案例1：(1)时间与高度两个变量的关系；时间t是自变量，高度h为因变量。(2)关系式为h=5t2，当t=2时，h=20(米)。相关题1：(1)12cm；(2)y随着x的增大而增大；y=12+0.5x。(3)当x=14(kg)时，y=19(cm)例2：(1)Q=52-8t;(2)当Q=0时，t=6.5(小时)(3)当t=1,2,3时，Q=44，36，28（小时）例3：(1)y=3x+3，期中x为自变量，y为因变量；(2)当x由5变到7时，y由18变为24(cm2)(3).略(4)当x每增加1时，y增加3(cm2)。(5)令y=9，则x=2，可以等于9，令y=2，则x=-1/3，因为x表示的是线段，所以不能。例4：(1)C，E；(2)C相关题2：D例5：(1)y甲=240+120xy乙=240·60%(x+1)(2)令y甲=y乙,y甲＜y乙,BL—03BL—04y甲＞y乙,得：当x=5时，两家收费一样，当x＞5时，甲比乙优惠，当x＜5时，乙比甲优惠。例6：略（思路同例5）1.一棵树苗栽下去时高0.8m，以后10年内每年平均长高0.4m，x年后树高ym。(1)这个问题中，常量是_________，变量是_________；(2)这个问题中x值是________量，y值是_________量；(3)生长5年后树高_______m，生长了10年树高__________m；(4)请你写出y随x变化而变化的关系式_______________。2.长方形的长为acm，宽为6cm，则它的周长C与长a之间的关系为______。3.某种情况下，声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x(℃)之间存在如下关系：33153xy，(1)当气温x=15℃时，声音的速度y=________m/s；(2)当气温x=22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声音响，则此人与燃放的烟花所在地相距________m。4.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x与售价y的关系如下表：数量x(kg)12345售价y(元)2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5则y与x的关系式为___________。5.如图BL—05，一个矩形推拉窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积a(平方米)与拉开长度b(米)之间的关系式为__________。6.某电影院有1000个座位，门票每张3元可达客满，若每张票提高x元，将有200x张门票不能售出，提价后每场电影票房收入y元与提高的票价x元之间的关系是_______________。7.小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，形成情况如图BL—06所示，若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是________分钟。BL—05BL—06BL—078.根据河道的剩水量Q(m3)与水泵抽水时间t(h)的关系图象如图BL—07，回答下列问题：(1)水泵抽水前，河道内有_________的水，水泵最多抽________小时；(2)水泵抽8小时后，河道剩水量为_________m3；(3)当河道剩水量为100m3时，水泵已抽水__________小时；(4)水泵平均每小时抽水_________m3。9.有一边长为2cm的正方形，若边长增加xcm，面积就增加y(cm2)，则y=________。10.一杯开水10分钟后冷却下来，在这个变化过程中，自变量是_________，因变量是________。11.亮亮拿6元钱去邮局买面值为0.80元的邮票，买邮票所剩钱数y(元)与买邮票的枚数x(枚)的关系式为______________，最多可以买________枚。12.根据图BL—08所示的程序计算，若输入的x的值是23，则输出的结果是（）A.27B.49C.23D.2913.在关系式y=3x+5中，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用列表法和图象法表示。其中说法正确的是（）A.①②③B.①②④C.①③⑤D.①②⑤14.中国工程院院士袁隆平研究的超级杂交水稻以单季亩产1138kg创世界纪录，农户王文清家有x亩地，今年晚稻改种超级杂交水稻，如果每亩产量达到1130kg，那么王文清家水稻的总产量y与x之间的关系为（）A.y=1130xB.y=1138xC.y=(1138-1130)xD.y=(1130+1138)x15.托运行李p千克(p为整数)的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克(不足1千克按1千克计)需增加费用5角，则计算托运行李费用c的公式是（）A.c=0.5pB.c=0.5p+1C.c=0.5p+1.5D.c=0.5p+216.在地球某地，温度T(℃)与高度d(m)的关系可近似地用15010dT来表示，则当高度d=900m时，温度T为（）A.4℃B.3℃C.2℃D.1℃17.如图BL—09是某市5月1日至5月7日每天最高、最低气温的折线统计图，在这7天中，日温差最大的一天是（）A.5月1日B.5月2日C.5月3日D.5月5日18.从山顶上滚到山脚下的一块石头，图BL—10中能大致描述速度v随时间t变化的图象是（）BL—08BL—09BL—1019.某礼堂的座位排列呈弧形，横排座位按下列方式设置：则第n排有座位()个A.10n+4B.20+4nC.20+4(n-1)D.20+3(n-1)20.丽丽放学回家进门后觉得口渴，可家里没有凉开水，于是她用水壶接了水，放在炉子上烧开，烧开后又倒入水杯中晾凉后才喝到嘴里，如图BL—11中，可以近似地刻画出水的温度随时间的变化而变化的图象是（）21.三峡工程在2003年6月1日至10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水