矩阵特征值与特征向量的应用

摘要矩阵论是数学中的重要内容,也是一个很有价值的数学工具.它应用于许多学科中.并且在实际生活中,许多问题都可以借助矩阵抽象表示计算.这就需要掌握矩阵的相关性质及其应用,对于矩阵的概念和相关性质比较容易理解,但是矩阵的计算和应用就不太容易掌握,运算起来比较麻烦,我们需要引进一个新的工具--------矩阵的特征值与特征向量.本文应用了大量实例说明矩阵特征值与特征向量在对角化、线性变换、反问题求解、简化矩阵、解析几何等方面的应用,这样会使解题更简便,还简化了计算过程,思路更开阔.关键词:特征值,特征向量,对角化,反问题求解,线性空间EigenvalueandeigenvectorapplicationsAbstract:Theoryofmatrixisanimportantcontentinmathematics.Isalsoavaluablemathematicaltool,itisappliedtomanydisciplines.Andinreallife,manyproblemscanbeabstractrepresentationswiththehelpofmatrixcalculation.Thisneedstomasterrelevantpropertiesandapplicationsofthematrix,thematrixoftheconceptandtherelatedpropertiesarewellunderstood,butthecalculationandapplicationofthematrixisnoteasytograsp,operationupmoretroublesome,weneedtointroduceanewtool--matrixeigenvalueandeigenvector.Thisarticleusedagreatdealofexamplesindiagonalizationmatrixeigenvalueandeigenvector,lineartransformations,inverseproblemsolving,simplifiedmatrix,howresolveseveralapplications,thiswillmakeiteasier,theproblemsolvingalsosimplifiesthecalculationprocess,thinkingmoreopen.Keywords:eigenvalues,eigenvectors,diagonalization,theinverseproblemsolving,linearspace目录一、引言.......................................................1二、矩阵特征值与特征向量的涵义.................................1(一)、矩阵的特征值与特征向量的定义........................1（二)、矩阵的特征值与特征向量的性质.......................1三、矩阵的特征值与特征向量的应用...............................2（一)、在对角化方面的应用..................................2（二）、在线性变换的应用....................................6（三）、在反问题求解的应用..................................9（四）、在简化矩阵运算中的应用.............................14（五）、在线性空间中的应用.................................18四、结束语....................................................19五、致谢.......................................错误!未定义书签。六、参考文献..................................................201一、引言数学与各个领域之间都有着千丝万缕的联系.用数学工具来分析和求解问题已成为对经济领域进行研究,从而获得最佳解决方案的迫切需要.矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要内容,也是高等数学研究问题的工具.它应用于许多学科中,并且在实际生活中,许多问题都可以借助矩阵抽象表示计算.本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的定义、相关性质及其应用,对于矩阵的特征值与特征向量概念和相关性质比较容易理解,但是矩阵的特征值与特征向量计算和应用就不太容易掌握,运算起来比较麻烦,文中具体说明了矩阵特征值与特征向量在对角化、线性变换、反问题求解、简化矩阵、解析几何等方面的应用,这样会使解题思路更清晰,思维更开阔,继而使高等数学中的许多计算问题更容易掌握.二、矩阵特征值与特征向量的涵义（一）矩阵的特征值与特征向量的定义定义]1[设为n阶方阵,是一个常数,存在一个n维非零列向量使关系式A成立,则称为的一个特征值,相应的非零向量称为的属于的特征向量A可等价地写为0)(,该方程存在非零列向量解的充要条件是系数行列式0.（二）矩阵的特征值与特征向量的性质性质1设为n阶方阵n,,,21的n个特征值,则n,,,21.性质2方阵可逆的n个特征值都不为零.性质3设为方阵的特征值,)(为的多项式,则)(为)(的特征值.性质4不为方阵的特征值0.性质5]2[(凯莱—哈密顿定理)设n阶方阵的特征多项式为nnnnf111)(则0)(111nnnnf性质6设n阶方阵的n个特征值为n,,,21且nppp,,,21为对应的n个线性无关的特征向量,记)(21npppp,则2pp1n21性质7设为n阶实对称阵n,,,21是它的n个特征值,则(1)当且仅当n,,,21都大于零时,正定;(2)当且仅当n,,,21都小于零时,负定;(3)当且仅当n,,,21都非负,但至少一个等于零时,是半正定;(4)当且仅当n,,,21都非正,但至少一个等于零时,是半负定;(5)当且仅当n,,,21中既有正数,有又负数时,是不定的得出相关结论如下:(1)]3[如果1、2都是矩阵的属于特征值0的特征向量,则当02211kk时,2211kk仍是A的属于特征值0的特征向量.(2)如果n,,,21是矩阵A的互不相同的特征值,其对应的特征向量分别是n,,,21,则n,,,21线性无关.(3)实对称矩阵的特征值都是实数,属于i不同特征值的特征向量正交.(4)若i是实对称矩阵的i重特征值,则对应特征值i恰有i个线性无关的特征向量,或iirnr)(.三、矩阵的特征值与特征向量的应用（一）在对角化方面的应用定理1对每个n阶矩阵,都存在n阶可逆的矩阵)(P,)(Q,使得)())((Qp)(000)(000)(21nddd⑴3其中)(,),(),(21nddd是的不变因子.且i）0是的特征根的充要条件是存在某个i,使0)(0id;ii）矩阵可对角化的充要条件是0)(iid无重根,ni,,2,1.证:i)由)(P,)(Q可逆得,)()(1Qp)()()(21nddd.所以0是的特征根的充要条件是存在某个i,使0)(0id;ii)因为⑴右端即特征矩阵的等价标准形,所以)(nd是的最小多项式.而)(/)(1iidd,从而矩阵可对角化的充要条件是0)(id无重根,ni,,2,1定理2]4[设s,,,21是n阶矩阵的全部互异的特征根,在⑴式的前提下,令)(,),(),()(21nQQQQ(列分块),若0)(kid,且kij时0)(kjd,sk,,2,1,则i)矩阵)(kQ的后1kin列)(,),(),(1knkikiQQQkk为的属于特征根k的全部线性无关的特征向量.sk,,2,1ii)在A可对角化时,令))(,),(),(,),(,),(),((1111snsisiniiQQQQQQTsskkTT1SSS111⑵证:i)若0)(kikd,则由定理1得0)()()(1knkikidddkk由⑴式得)())((kkkQAEp400)()(11kikkdd⑶从而0)())((klikkkQp,kinl,,1,0由)(),(Qp可逆知,)(),(kkQp是可逆的数字矩阵,所以)(,),(),(1knkikiQQQkk线性无关,且)(klikkQ0,kinl,,2,1,0即)(,),(),(knklikiQQQkk是的属于特征根k的线性无关的特征向量,sk,,2,1,再由(3)式且kij时0)(kjd及)(),(kkQp可逆得,1)(kkirank,所以)(,),(),(1knkikiQQQkk是的属于特征根k的全部线性无关的特征向量,sk,,2,1ii)由i)之讨论,结论是显然的.应用举例根据定理1和定理2的结论,由矩阵的可逆矩阵,初等矩阵与初等变换的关系,我们可以得到一个求矩阵的特征根与特征向量,判断是否可对角化及在可对角化时求可逆矩阵T,使TT1为对角形矩阵的方法i)构造矩阵A,对其中的A施行初等变换,化A为标准形)(D即⑴式右端,相应的列初等变换化为)(Q即A)()(QDii)求)(id的根),,2,1(ni,即A的全部特征根S,,,21(判断A是否可对角化);iii)在)()(QD中以k代,则)()(QD中与)(kD中的“零列”对应的)(kQ5中的列)(kikQ,)(,),(1knkiQQk即为A的属于特征根k的全部线性无关的特征向量,sk,,2,1iv)在A可对角化时,令))(,),(),(,),(,),(),((111111snsiiniiQQQQQQTsstt则ATT1为对角形矩阵⑵例求A下列矩阵的特征根与特征向量,判断A是否可对角化;在A可对角化时,求可逆矩阵T,使ATT1为对角形矩阵.i)222333111Aii)422633211A解:i)对A的前三行及列施行初等变换100010001222333111001010100222333111111010100323300121110101003030001211111010000